Kezdőlap


Feladat:	226. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cambi S. , Gregor Aladár , Hajós Gy. , Hoffmann I. , Jacobi A. , Klein Eszter , Kozma A. , Krausz Gy. , Molnár L. , Pollák A. , Rappaport D. , Scheiber P. , Schlüssler E. , Schwartz L. , Sveiczer M. , Szolovits D. , Turán P. , Vojtsek I. , Wolkóber L. , Ziegler I.
Füzet:	1927/május, 273 - 274. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Derékszögű háromszögek geometriája, Kör egyenlete, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/március: 226. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Érintse az $O_{2}$ kör az $O$ kört $C$ -ben, $O_{1}$ -et $D$ -ben, $O A$ egyenest pedig a feladat szerint $B$ -ben, sugara pedig legyen $r$ . Az érintkezés folytán $O_{2} B ⊥ O A$ , továbbá $O$ , $O_{2}$ , $C$ és $O_{1}$ , $D$ , $O_{2}$ pontok egy egyenesen vannak.
$O_{1} B O_{2}$ derékszögű háromszögben $O_{1} B = \frac{R}{2} + x$ , $B O_{2} = r$ és $O_{1} O_{2} = \frac{R}{2} + r$ , tehát

\begin{matrix} {(\frac{R}{2} + x)}^{2} + r^{2} = {(\frac{R}{2} + r)}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{2} + R x - R r = 0. \end{matrix}

(1)

O B O_{2}

derékszögű háromszögből pedig

\bar{O O_{2}^{2}} = x^{2} + r^{2}

; mivel másrészt

\bar{O O_{2}} = \bar{O C} - \bar{O_{2} C} = R - r

kapjuk:

\begin{matrix} {(R - r)}^{2} = x^{2} + r^{2}, rendezve x^{2} - R^{2} + 2 R r = 0. \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) egyenletekből

r

kiküszöbölésével

\begin{matrix} 3 x^{2} + 2 R x - R^{2} = 0, \end{matrix}

(3)

ahonnan

\begin{matrix} x_{1} = \frac{R}{3}, x_{2} = - R, s így r_{1} = \frac{4}{9} R, r_{2} = 0. \end{matrix}

Gregor Aladár (ág. ev. fg. VII. o. Bp.)

Jegyzet. A feladat második megoldása,

x_{2} = R

és

r_{2} = 0

ú. n. triviális megoldás; ez a kör maga az

A

pont.