Feladat: 223. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke I. ,  Bohdaneczky Erzsébet ,  Erdős Pál ,  Hajós Gy. ,  Jacobi A. ,  Klein T. ,  Lindtner P. ,  Márkus L. ,  Párducz N. ,  Pécsi Gizella ,  Szegedy Adrienne ,  Ulmer R. 
Füzet: 1927/május, 272. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Egyenesek egyenlete, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1927/március: 223. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenlőtlenség így is írható:

7x-58x+3-4=7x-5-32x-128x+3=-25x+178x+3>0,azaz25x+178x+3<0.(1)
Feladatunk tehát megállapítani, hogy az (1) egyenlőtlenség mely x értékekre teljesül, illetőleg az (1) baloldalán álló tört értéke mikor negatív.
Mivel két mennyiség hányadosának előjele egyezik ugyanazon két mennyiség szorzatáéval, az (1) egyenlőtlenség pótolható a következővel:
(25x+17)(8x+3)<0.(2)
Ezen egyenlőtlenség oly x értékekkel elégíthető ki, melyek mellett a tényezők előjelei ellenkezők.
Geometriailag a (2) baloldalán álló tényezők egyeneseket jelentenek. Az előzők szerint keressük azon x abcisszaértékeket, melyek mellett az y1=25x+17 és y2=8x+3 ordinátaértékek előjelei ellenkezők, amelyek mellett az egyenesek (x,y1) ill. (x,y2) pontjai az X tengely ellenkező oldalán vannak. Ábrázolva az y=25x+17 és y=8x+3 egyeneseket, azt látjuk, hogy ezeknek az X tengellyel való metszéspontjaikban, az x1=-1725 és x2=-38 abscissákban húzott ordináták közé eső részei felelnek meg követelményeinknek. Ezen egyenes darabok pontjainak megfelelő abcissa-értékek, az egyenlőtlenség megoldásai, x1 és x2 között vannak, s mivel x1<x2 az adott egyenlőtlenséget -1725<x<-38 értékek elégítik ki.
 

Erdős Pál (Szent István rg. V. o. Bp.)
 

Jegyzet. Az y=7x-58x+3 függvényt egyenlőszárú hiperbola ábrázolja, melynek aszimptotái az x=-38 és y=78 egyenesek. A feladatban e hiperbola azon pontjait keressük, melyeknek ordinátái 4-nél nagyobbak, tehát amelyek az y=4 egyenes fölött vannak. Ez az egyenes a görbét az x=-1725 abscissájú pontban metszi; ez az x egyik határa. Minthogy x növekedésével y is állandóan nő, x másik határa az x=-38 aszimptota lesz.