Kezdőlap


Feladat:	220. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Aladár , Beke I. , Bohdaneczky Erzsébet , Cambi S. , Dénes B. (IV. o.) , Dezső E. , Erdős P. , Friedmann T. (IV. o.) , Fürst H. (IV. o.) , Gelberger P. , Grendorf G. (IV. o.) , Grosz E. (IV. o.) , Grünfeld S. (IV. o.) , Hajós Gy. , Havas Gy. , Jacobi A. , Klein I. , Klein T. , Kőszeghy G. , Liebermann J. , Lőw A. (IV. o.) , Marosi B. , Polacsek E. , Rappaport D. , Schwarcz L. (IV. o.) , Schwartz L. , Schönwald I. , Selymes L. , Somló Piroska , Sréter J. , Sumi J. (IV. o.) , Szegedy Adrienne , Székely Gy. , Szigritz Gy. , Szolovits D. , Ulmer R. , Vojtsek I. , Waldapfel L. , Walient P.
Füzet:	1927/május, 270 - 271. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók száma, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/március: 220. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. $1^{\circ}$ . Ha az $N$ számnak $d$ osztója, akkor $\frac{N}{d}$ egész szám és szintén osztója $N$ -nek. Így minden $\sqrt[]{N}$ -nél kisebb osztóhoz tartozik egy $\sqrt[]{N}$ -nél nagyobb osztó, az előbbi kapcsoltja, tehát így az osztók száma páros. Páratlan csak úgy lehet az osztók száma, ha van egy olyan osztó, mely önmagának kapcsoltja, azaz ha van oly $d$ , hogy $d = \frac{N}{d}$ . Ekkor azonban $N = d^{2}$ , q. e. d.
$2^{\circ}$ . Az előbbiek szerint a $\sqrt[]{N}$ -től különböző osztók száma páros. Ha azonban $N$ teljes négyzet akkor $\sqrt[]{N}$ egész szám, tehát osztó, de mivel önmagának kapcsoltja, csak egy új osztót jelent, s így az összes osztók száma párosból páratlanná lesz.

Antal Aladár (egri áll. főreál IV. o.)

II. Megoldás.

1^{\circ}

. Legyen

N = p_{1}^{α_{1}} \cdot p_{2}^{α_{2}} ... p_{r}^{α_{r}}

a kérdéses szám, ahol

p_{1}, p_{2}, ..., p_{r}

törzsszámokat,

α_{1}

α_{2}

...

α_{r}

pedig pozítív egész számokat jelentenek. A 87. gyakorlatban (II. évf. 6. sz.) megadott módszerrel általánosan kimutathatjuk, hogy

n

összes osztóinak száma, beleértve az egységet és magát a számot:

\begin{matrix} σ = (α_{1} + 1) (α_{2} + 1) ... (α_{r} + 1) . \end{matrix}

(1)

Feladatunk értelmében

σ

páratlan szám. Az (1) jobboldalán álló szorzat azonban csak akkor lehet páratlan, ha minden tényezője az, azaz ha

α_{1} + 1 = 2 β_{1} + 1, ...

α_{r} + 1 = 2 β r + 1

, tehát

α_{1} = 2 β_{1}

a_{r} = 2 β_{r} (β_{1}, ...

β_{r}

szintén poz. egész számok). Ezáltal

N

így alakul:

\begin{matrix} N = p_{1}^{2 β_{1}} \cdot p_{2}^{2 β_{2}} ... p_{r}^{2 β_{r}} = {(p_{1}^{β_{1}} \cdot p_{2}^{β_{2}} ... p_{r}^{β_{r}})}^{2} q. e. d. \end{matrix}

2^{\circ}

. Teljes négyzetszám mindig ilyen alakú:

N = p_{1}^{2 β_{1}} \cdot p_{2}^{2 β_{2}} ... p_{r}^{2 β_{r}}

. Osztóinak száma (1) szerint

\begin{matrix} r = (2 β_{1} + 1) (2 β_{2} + 1) (2 β_{r} + 1) . \end{matrix}

E szorzatnak minden tényezője, tehát a szorzat is páratlan, azaz teljes négyzetszám osztóinak száma páratlan.

Bohdaneczky Erzsike (tanítóképző int. III. évf. Bp. VII.)