Kezdőlap


Feladat:	219. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdős P. , Hajós György , Juvancz I. , Schwartz L. , Sréter J. , Sturm Vilmos , Szolovits Dezső , Walient P.
Füzet:	1927/április, 239. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Inverz függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/február: 219. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. $x = tg φ,$ tehát $arc tg x = φ .$ Figyelembe véve, hogy $tg (4 k + 1) \frac{π}{4} = 1,$ a kifejezés második tagjában szereplő tört így is írható:

\begin{matrix} \frac{1 - x}{1 + x} = \frac{tg (4 k + 1) \frac{π}{4} - tg φ}{1 + tg (4 k + 1) \frac{π}{4} tg φ} = tg [(4 k + 1) \frac{π}{4} - φ] . \end{matrix}

Ebből a második tag értéke:

(4 k + 1) \frac{π}{4} - φ,

s így:

\begin{matrix} arc tg x + arc tg \frac{1 - x}{1 + x} = φ + (4 k + 1) \frac{π}{4} - φ = (4 k + 1) \frac{π}{4} = állandó . \end{matrix}

ami a feladatban foglalt állítást igazolja.

Szolovits Dezső (izr. rg. VI. o. Debrecen.)

II. Megoldás. Tekintsük a kifejezést

x

függvényének és képezzük első differenciál hányadosát:

\begin{matrix} y' = \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{2}} \cdot \frac{- (1 + x) - (1 - x)}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}} = 0. \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy a függvény képe egy az

x

tengellyel párhuzamos egyenes, másképp: a függvény értéke állandó.

Sturm Vilmos (Kemény Zsigmond-reál VI. o. Bp.)

Hajós György (kegyesrendi gimn. VI. o. Bp.)

Jegyzet

x = \frac{1}{2}

esetben 1. II. éve 2. sz. 51. gyakorlat.