Kezdőlap


Feladat:	190. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baár-Madas ref. leánygimn. V. o. , Blahó T. , Bohdaneczky Erzsébet , Boschán Anna , Bud P. , Doktorits I. , Erdős P. , Erőss J. , Fábián Anna , Faragó Loránd , Feldheim E. , Freiberger L. , Grünwald Gyula , Haidinger G. , Hajós Gy. , Hoffmann I. , Händler Gy. , Jacobi A. , Jójárt I. , Jurányi Erika , Kaltenecker J. , Klein Imre , Klein T. , Lindtner P. , Magyar Erzsike , Magyar Ilona , Manno S. , Márkus L. , Marosi B. , Nádor L. , Oláh J. , Párducz N. , Pécsi Gizella , Polacsek E. , Rappaport D. , Róka Éva , Schwarcz I. , Schwartz L. , Somogyi K. , Soós G. , Sréter J. , Szegedy Adrienne , Szolovits D. , Vojtsek I. , Waldapfel L. , Walient P. , Weisz T. , Zwirn Gy.
Füzet:	1927/február, 170 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1926/december: 190. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A keresett háromjegyű szám $100 x + 10 y + z$ . Ha a jegyeket fordított sorrendben írjuk és kivonjuk az eredeti számból, a különbség $99 (x - z)$ lesz. Minthogy a követelmény szerint

\begin{matrix} 500 < 99 (x - z) < 600 \end{matrix}

azért

x - z = 6

. Ennek a feltételnek csak a következő jegyek tesznek eleget:

\begin{matrix} x = 9, 8, 7, 6 \\ z = 3, 2, 1, 0. \end{matrix}

Minthogy a középső jegy 3-mal kisebb

x + z

-nél, azért csak a következő számok jöhetnek tekintetbe:

\begin{matrix} 993, 872, 751, 630. \end{matrix}

A harmadik feltételnek ezek közül csak 751 felel meg (mert

7^{2} = 9 \cdot 5 + 4

Faragó Loránd (Kölcsey Ferenc rg. V. o. Bp.)

II. Megoldás. Induljunk ki az

\begin{matrix} x^{2} = 9 y + 4 ill. y = \frac{(x + 2) (x - 2)}{9} \end{matrix}

feltételből. Az

(x + 2) (x - 2)

szorzat csak úgy osztható 9-cel, ha tényezőinek mindegyike osztható 3-mal vagy az egyikük 9-cel. Azonban az

x + 2

és

x - 2

számok mindegyike nem osztható 3-mal, mert különbségük: 4, nem osztható 3-mal. Tehát csak az lehetséges, hogy egyikük osztható 9-cel. Minthogy

x < 10

, csak

x + 2

jöhet tekintetbe, ha t. i.

x = 7

.
Ebből már a többi számjegy kiszámítható.

Klein Imre (izr. rg. V. o. Bp.)

III. Megoldás. Feladatunkat úgy is fogalmazhatjuk, hogy az

\begin{matrix} x - z = 6, & (1) \\ x + z = y + 3, & (2) \\ x^{2} = 9 y + 4 & (3) \end{matrix}

egyenletrendszert kell megoldanunk. Az (1) és (2) egyenletekből

\begin{matrix} 2 x = y + 9 ill. y = 2 x - 9. \end{matrix}

y

ezen értékét 3-ba helyettesítjük és rendezünk

\begin{matrix} x^{2} - 18 x + 77 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk, melynek gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = 11 és x_{2} = 7. \end{matrix}

Ezek közül a feladatnak csak 7 felelhet meg. Tehát

\begin{matrix} x = 7, y = 5, z = 1. \end{matrix}

Grünwald Gyula (Zrínyi Miklós rg. VI. o. Bp.)