Feladat: 134. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baranyi Bözsi ,  Braun F. ,  Csalán E. ,  Hajós Gy. ,  Jacobi A. ,  Klein Eszter ,  Kozma A. ,  Lindenfeld S. ,  Lindtner P. ,  Löbl E. ,  Magyar Erzsike ,  Márkus L. ,  Mok Márta ,  Neufeld B. ,  Prágay Gy. ,  Schlégl Gy. ,  Schlüssler E. ,  Schwartz L. ,  Sréter Jenő ,  Sveiczer M. ,  Szabó Ilona ,  Székely Lilly ,  Wachsberger Márta ,  Waldapfel L. 
Füzet: 1926/szeptember, 6 - 7. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletek, Parciális törtekre bontás, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1926/április: 134. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az azonos egyenlet mindkét oldalán közös nevezőre hozunk ‐ és a közös nevező: (x2-3x-10)(x-a)(x-b) ‐, úgy a bal, mint a jobb oldalon harmadfokú kifejezéseket kapunk a számlálókban. Az azonosság csak úgy állhat elő, ha a két harmadfokú kifejezés megfelelő együtthatói egyenlők; ilyen módon 4 egyenletet kapunk:

A+B=5,(1)5(a+b)+4=3(A+B)+Ab+Ba,(2)5ab+4(a+b)=3(Ab+Ba)-10(A+B),(3)-4ab=10(Ab+Ba).(4)

Az (1) és (4) egyenletek alapján, az A+B és Ab+Ba kifejezések kiküszöbölésével, a (2)-ból és (3)-ból ez lesz:
5(a+b)+2ab5=11,(2a)4(a+b)+31ab5=-50.(3a)
(2a) és (3a) egyenletekből a+b=3 és ab=-10, más szóval a és b az x2-3x-10=0 egyenlet gyökei:
a=5ésb=-2vagy megfordítva.

Ezen értékekkel:
A+B=5,(1)-2A+5B=4.(4a)

Eszerint: A=3 és B=2.
A kívánt azonosság:
5x-4x2-3x-103x-5+2x+2.

Ha a=-2 és b=5, akkor A=2 és B=3, tehát lényegében csak egyféle felbontás létezik.
 

Sréter Jenő (izr. rg. V. o. Debrecen)