Kezdőlap


Feladat:	134. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baranyi Bözsi , Braun F. , Csalán E. , Hajós Gy. , Jacobi A. , Klein Eszter , Kozma A. , Lindenfeld S. , Lindtner P. , Löbl E. , Magyar Erzsike , Márkus L. , Mok Márta , Neufeld B. , Prágay Gy. , Schlégl Gy. , Schlüssler E. , Schwartz L. , Sréter Jenő , Sveiczer M. , Szabó Ilona , Székely Lilly , Wachsberger Márta , Waldapfel L.
Füzet:	1926/szeptember, 6 - 7. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletek, Parciális törtekre bontás, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1926/április: 134. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az azonos egyenlet mindkét oldalán közös nevezőre hozunk ‐ és a közös nevező: $(x^{2} - 3 x - 10) (x - a) (x - b)$ ‐, úgy a bal, mint a jobb oldalon harmadfokú kifejezéseket kapunk a számlálókban. Az azonosság csak úgy állhat elő, ha a két harmadfokú kifejezés megfelelő együtthatói egyenlők; ilyen módon $4$ egyenletet kapunk:

\begin{matrix} A + B & = 5, & (1) \\ 5 (a + b) + 4 & = 3 (A + B) + A b + B a, & (2) \\ 5 a b + 4 (a + b) & = 3 (A b + B a) - 10 (A + B), & (3) \\ - 4 a b & = 10 (A b + B a) . & (4) \end{matrix}

Az (1) és (4) egyenletek alapján, az

A + B

és

A b + B a

kifejezések kiküszöbölésével, a (2)-ból és (3)-ból ez lesz:

\begin{matrix} 5 (a + b) + \frac{2 a b}{5} & = 11, & (2a) \\ 4 (a + b) + \frac{31 a b}{5} & = - 50. & (3a) \end{matrix}

(2a) és (3a) egyenletekből

a + b = 3

és

a b = - 10

, más szóval

a

és

b

x^{2} - 3 x - 10 = 0

egyenlet gyökei:

\begin{matrix} a = 5 és b = - 2 vagy megfordítva. \end{matrix}

Ezen értékekkel:

\begin{matrix} A + B & = 5, & (1) \\ - 2 A + 5 B & = 4. & (4a) \end{matrix}

Eszerint:

A = 3

és

B = 2

.
A kívánt azonosság:

\begin{matrix} \frac{5 x - 4}{x^{2} - 3 x - 10} \equiv \frac{3}{x - 5} + \frac{2}{x + 2} . \end{matrix}

a = - 2

és

b = 5

, akkor

A = 2

és

B = 3

, tehát lényegében csak egyféle felbontás létezik.

Sréter Jenő (izr. rg. V. o. Debrecen)