Kezdőlap


Feladat:	71. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Braun L. , Csalán E. , Gerendás E. , Hajós Gy. , Kozma A. , Kuslics Péter , László S. , Neufeld B. , Neumann M. , Schannen Gy. , Sveiczer M. , Wachsberger M.
Füzet:	1925/december, 107. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Nevezetes egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/október: 71. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két szám, $a$ és $b$ harmonikus középarányosa legyen $H$ . A definíció szerint

\begin{matrix} \frac{1}{H} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{a + b}{2 a b} azaz H = \frac{2 a b}{a + b} = \frac{a b}{\frac{a + b}{2}} . \end{matrix}

(1)

a

és

b

mértani középarányosa

G = \sqrt[]{a b}

a

és

b

számtani középarányosa

A = \frac{a + b}{2}

.
Eszerint

\begin{matrix} H = \frac{G^{2}}{A} = \frac{G}{A} \cdot G . \end{matrix}

(2)

Azonban

G < A

(1. szegedi verseny 3-ik tételét a 3. sz. 72. oldalán) és

\frac{G}{A} < 1

, tehát

H < G

Kuslics Péter (Szent-Benedekrendi fg. VI. o. Esztergom).