Feladat: 50. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csalán E. ,  Hajós György ,  Kornhauser József ,  Stern J. ,  Sveiczer Márton 
Füzet: 1925/október, 46. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1925/május: 50. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen a három párhuzamos egyenes e1, e2, e3. Vegyük fel pl. e2 egyenesen tetszőlegesen a B pontot.

 
 

Ha már most B pontot pl. e1 egyenes összes pontjaival összekötve képzeljük és az összekötő távolságok felett egyenlőoldalú háromszögeket szerkesztünk, ezek csúcsainak mértani helye egy egyenes vonal lesz, melyet kapunk, ha e1-t B körül 60-kal elforgatjuk. (L. I. évf. 3. sz. 58. oldal 9. feladat.) Ahol ezen mértani hely e3-t metszi, ott lesz C pont. Ezek után e1 egyenesen A pont is meghatározható: BA=BC.
 

Sveiczer Márton (egri áll. főreál V. o.)
 

II. Megoldás. e2 egyenesen felvett B pontból húzzunk egyeneseket, melyek e1, ill. e3-mal 60 ill. 120-ú szöget alkotnak. Legyenek e szögek csúcsai M (e1-n) és N (e3-n).
 
 

Ha már most az M, B, N pontokon át kört szerkesztünk, ezen kör e1-t A-ban, e3-t C-ben metszi még, ABC egyenlőoldalú lesz. Ugyanis AMBC húrnégyszögben
ACB=180-120=60
ABNC húrnégyszögben
BAC=180-120=60.

Ezért ABC szintén 60.
 

Kornhauser József (egri áll. főreál VI. o.)
 

III. Megoldás. Ha M és N pontokat az előbbi szerint megkaptuk, legyen MA=BN és NC=BM. Felmérve tehát MA-t és NC-t, BMAΔBNCΔ (két oldal és a közbezárt szög egyenlő) és így BA=BC, továbbá MAB=NBC és MBA=NCB. Másrészt MAB+MBA=60 és így NBC+MBA=60. Az e2 egyenes MBN szöget ‐ a párhuzamos egyenesek által létesített váltószögek egyenlősége folytán ‐ két 60-ú részre osztja, tehát MBN=120.
ABC=MBN-(NBC+MBA)=120-60=60. Mivel BA=BC és 60-ú szög van közöttük, ABC egyenlőoldalú.
 

Hajós György (kegyesrendi fg. IV. B. o. Bp.)