Kezdőlap


Feladat:	33. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fischer Gy. , Kepes Éva , Klein E. , Kornhauser J. , Krón A. , Marossy I. , Stern J. , Sveiczer M. , Szentpétery Z. , Wachsberger M. , Zselyonka László
Füzet:	1925/szeptember, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/április: 33. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szimmetrikus trapéz, mivel szembefekvő szögeinek összege $180^{\circ}$ , húrnégyszög. A körülírt kör középpontja $O$ , a szimmetriatengelyen fekszik, mely $a$ oldalt $E$ , $b$ oldalt $F$ pontban metszi $(a > b)$ . Ha a körülírt kör középpontja a két párhuzamos oldal között van, akkor $O F + O E = m$ , ha kívül van $O F - O E = m$ , mert a középpont a kisebb húrtól távolabb van, mint a nagyobbiktól. Már most

\begin{matrix} O F = \sqrt[]{r^{2} - \frac{b^{2}}{4}} és O E = \sqrt[]{r^{2} - \frac{a^{2}}{4}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \sqrt[]{r^{2} - \frac{b^{2}}{4}} \pm \sqrt[]{r^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = m . \end{matrix}

(1)

Ha ezen egyenlet mindkét oldalán négyzetre emelünk, a baloldalon a kétszeres szorzat még mindig négyzetgyök kifejezés; ezt separálva, újra négyzetre emelünk és ekkor már a kettős előjel is megszűnik, tehát ugyanahhoz az egyenlethez jutunk mind a két esetben. Ezen egyenletben

r^{4}

együtthatója 0 lesz, úgy hogy a következő tiszta négyzetes egyenlettel van dolgunk:

\begin{matrix} 64 m^{2} r^{2} = {(4 m^{2} + a^{2} + b^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2} \end{matrix}

(2)

Ebből

\begin{matrix} r = \frac{\sqrt[]{[4 m^{2} + {(a + b)}^{2}] [4 m^{2} + {(a - b)}^{2}]}}{8 m} . \end{matrix}

Zselyonka László (Fáy András rg. VI. o. Bp. IX.)

Jegyzet. Ha a nem párhuzamos oldalakat

c

-vel, az átlókat

d

-vel jelöljük és tekintetbe vesszük, hogy

4 m^{2} = 4 c^{2} - {(a - b)}^{2}

továbbá ‐ Ptolemäus tételével ‐

c^{2} + a b = d^{2}

, akkor a nyert eredmény

r = \frac{d^{2}}{\sqrt[]{(s - a) (s - b)}}

alakra hozható,

s

a trapéz kerületének felét jelenti.