Kezdőlap


Feladat:	31. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdős Péter , Fischer Gy. , Katona L. , Klein E. , Kornhauser J. , Kovács I. , Kozma A. , Marossy J. , Mischung I. , Neufeld B. , Sereg J. , Stern J. , Sveiczer Márton , Szentpétery Z. , Szombathy M. , Waschberger M. , Zselyonka L.
Füzet:	1925/szeptember, 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/április: 31. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha $a$ , $b$ , $c$ különböző számok, akkor

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} > 0, {(a - c)}^{2} > 0, {(b - c)}^{2} > 0. \end{matrix}

A négyzetreemelést elvégezve és a három egyenlőtlenség megfelelő oldalait összevonva, lesz:

\begin{matrix} 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 a c - 2 b c > 0 \end{matrix}

és ebből

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} > a b + b c + c a . \end{matrix}

(Ha

a = b = c

, akkor

a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + c a = 3 a^{2}

Sveiczer Márton (egri áll. főreál V. o.)

II. Megoldás. Feltehetjük, hogy

a > b > c

. Legyen tehát

\begin{matrix} a = b + x, & (1) \\ b = c + y & (2) \end{matrix}

és így

\begin{matrix} c = a - (x + y) \end{matrix}

(3)

ahol

x

és

y

poz. számok.
(1)-ből

a^{2} = a b + a x

; (2)-ből

b^{2} = b c + b y

és (3)-ból

c^{2} = a c - c (x + y)

.
Eszerint

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = a b + b c + a c + a x + b y - c x - c y \end{matrix}

(4)

Azonban

a x + b y - c x - c y = (a - c) x + (b - c) y > 0

mert

a > b > c

.
Tehát

a^{2} + b^{2} + c^{2} > a b + b c + a c

Erdős Péter (Szent István rg. V. A. Bp. VII.)