Kezdőlap


Feladat:	28. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blau Kata , Csalán E. , Hajós Gy. (IV.o.) , Klein Eszter , Lemberger Klára , Neumann M. , Szombathy M. , Tóvárosi Fischer György , Waschberger Márta , Weisz Lili , Zselyonka L.
Füzet:	1925/szeptember, 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Maradékos osztás, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1925/április: 28. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden páratlan szám $2 a + 1$ , a páros szám $2 k$ alakban írható,

\begin{matrix} {(2 a + 1)}^{2 k} = {[{(2 a + 1)}^{2}]}^{k} = {[4 a (a + 1) + 1]}^{k} . \end{matrix}

k = 1

{(2 a + 1)}^{2} = 4 a (a + 1) + 1

. Tekintettel arra, hogy

a

és

a + 1

két egymásután következő szám, egyik a kettő közül és így szorzatuk is osztható 2-vel, tehát

4 a (a + 1)

osztható 8-cal. Eszerint

{(2 a + 1)}^{2} = 8 M + 1

.
Tegyük fel mármost, hogy

{(8 M + 1)}^{k} = 8 M_{k} + 1

. Ebből

{(8 M + 1)}^{k + 1} = (8 M_{k} + 1) (8 M + 1) = 8 (8 M M_{k} + M + M_{k}) + 1

azaz

\begin{matrix} {(8 M + 1)}^{k + 1} = 8 M' + 1. \end{matrix}

Ha tehát a tétel igaz

k

-ra, igaz lesz

k + 1

-re is; ámde

k = 1

esetben helyes volt, helyes lesz, tehát

k = 2,3,4 ...

szóval minden pozitív egész számra nézve.

Tóvárosi Fischer György (ev. főgimn. Bp. VI. o.)