Kezdőlap


Feladat:	1500. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hoffmann Tibor , Sándor Gyula , Taksony Gy.
Füzet:	1939/május, 221 - 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Körülírt kör, Beírt kör, Feuerbach-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/február: 1500. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$r_{k}$ jelentse az $A B C △$ köré, $r_{b}$ pedig oly kör sugarát, mely a háromszög oldalait érinti. ¹ Jelentse $O$ az előbbi, $I$ az utóbbi kör középpontját. Ekkor az $O I = d$ távolságra és az $r_{k}, r_{b}$ sugarakra nézve fennáll az Euler-féle összefüggés: ²

\begin{matrix} d^{2} = r_{k}^{2} \pm 2 r_{k} r_{b} . \end{matrix}

A jobboldalon

+

érvényes, ha a második kör a háromszög oldalait kívülről, a

-

jel, ha belülről érinti.
Ha már most az adott két kör középpontjainak

d

távolsága eleget tesz az Euler-féle összefüggésnek, akkor végtelen sok olyan háromszög létezik, mely az

r_{k}

sugarú körbe és az

r_{b}

sugarú kör köré van írva. Ha azonban

d

értéke nem felel meg az Euler-féle összefüggésnek, akkor nem létezik ilyen háromszög.

^{2}

Legyen már most az

A B C △

köré írt kör középpontja

O

, a beírt kör középpontja

I

, magassági pontja

H

és az

O H

távolság felezőpontja

F

, a háromszög Feuerbach-körének középpontja. Ezen kör sugara tudvalevőleg

\frac{1}{2} r_{k}

. A Feuerbach kört az

A B C △

-be írt kör belülről érinti.
E két kör centrálisa

\begin{matrix} F I = \frac{1}{2} r_{k} - r_{b} .^{3} \end{matrix}

³
Vegyük fel az

O I

egyenesen az

O

-val

I

-re nézve szimmetrikus pontot

ω

-t, azaz

O ω = 2 O I

Minthogy

O H = 2 O F

, nyilván

\begin{matrix} ω H = 2 F I = r_{k} - 2 r_{b}, \end{matrix}

azaz a

H

magassági pont oly kört ír le, melynek középpontja a szilárd

ω

pont és sugara

r_{k} - 2 r_{b}

.
Ha

I_{j}

oly kör középpontja, mely a háromszög oldalait kívülről érinti, akkor a Feuerbach-kör a háromszög ezen hozzáírt körét kívülről érinti. Most tehát

\begin{matrix} F I_{j} = \frac{1}{2} r_{k} + r_{b} és ω_{j} H = 2 F I_{j} = r_{k} + 2 r_{b}, \end{matrix}

ha t. i.

ω_{j}

és

O

és az

I_{j}

-re szimmetrikus pontok. (

j = a, b, c

).
Bármelyik esetben, az Euler-féle összefüggés alapján

\begin{matrix} ω H = \frac{d^{2}}{r_{k}}, \end{matrix}

ahol

d = O I

vagy

O I j

¹A kör köré írt háromszög oldalai a kör érintői. A kör a háromszögre nézve beírt kör vagy hozzáírt kör.

²L. KÜRSCHÁK: Matematikai Versenytételek c. műben, a 33. oldalon.

³ $r_{k} > 2 r_{b}$ !