Feladat: 1498. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baán Sándor ,  Bali J. ,  Bizám György ,  Bolgár I. ,  Böröcz I. ,  Csáki Frigyes ,  Egger G. ,  Forgács P. ,  Freud Géza ,  Hoffmann Tibor ,  Jakab Károly ,  Josepovits Gy. ,  Káli L. T. ,  Klein József ,  Koren P. ,  Lengyel S. ,  Lőke Endre ,  Margulit György ,  Máté I. ,  Nádler M. ,  Pál Sándor ,  Petricskó M. ,  Relle F. ,  Sándor Gyula ,  Sárközy Éva ,  Sellmann Tibor ,  Szittyai Dezső ,  Taksony György ,  Várszegi m. ,  Volena-Koczor Imre 
Füzet: 1939/május, 219. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1939/február: 1498. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (O,r) kör kerületének szilárd pontja A, tetszőleges pontja B. Forgassuk el AO-t és AB-t 60∘-kal (pl. az óramutató forgásának irányában): AO az AO', AB az AC helyzetbe kerül. Ebből következik

 
 

1) az ABC△ egyenlőoldalú, mert AB=AC és BAC∢=60∘;
2) AO'C△≅AOB△, mert AO'=AO,AC=AB és O'AC∢=OAB∢.
Ezért O'C=OB=r.
Azonban AOO'△ is egyenlőoldalú, mert AO=AO' és OAO'∢=60∘, tehát OO'=AO=r, azaz O' az (O,r) kör szilárd pontja, az A-tól r távolságban. Mivel pedig O'C=r, a C pont mértani helye oly kör, melynek középpontja O' és sugara r, az adott körrel egybevágó. Az O kör bármely B pontjához tartozik az O' kör valamely C pontja és az O' kör bármely C pontjához tartozik az O kör egy B pontja.
Minthogy az O kört két irányban lehet forgatni, két ilyen kört kapunk, mint C mértani helyét. (A két kör közös húrja AO.)
 
Volena-Koczor Imre (Révai Miklós g. VIII. o. Győr).