Kezdőlap


Feladat:	1496. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ballay L. , Bizám György , Bolgár I. , Boromissza Jenő , Csáki Frigyes , Deák A. , Egger G. , Fonó Katalin , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Jakab Károly , Káli L. T. , Klein J. , Laub Gy. , Lestál Lajos , Margulit György , Nádler M. , Sándor Gyula , Sellmann Tibor , Taksony György , vitéz Rigó M. , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/május, 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/február: 1496. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rendezzük az egyenlet baloldalát pl. $y$ hatványai szerint:

\begin{matrix} y^{2} + (4 x - 2) y + λ x^{2} - 4 x - 3 = 0 ... \end{matrix}

(1)

Ezen egyenlet egyenespárt jelent, ha

y

mint

x

elsőfokú függvénye fejezhető ki. Ehhez szükséges és elegendő, hogy a discrimináns

x

elsőfokú kifejezésének négyzete legyen. Már most

\begin{matrix} D = {(4 x - 2)}^{2} - 4 (λ x^{2} - 4 x - 3) = (16 - 4 λ) x^{2} + 16 \equiv {(A x + B)}^{2} . \end{matrix}

Ebből következik:

\begin{matrix} B^{2} = 16, 2 A B = 0 tehát A = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 16 - 4 λ = 0 és így λ = 4. \end{matrix}

Eszerint (1) ből

\begin{matrix} y = \frac{- (4 x - 2) \pm 4}{2} = {\begin{matrix} - 2 x + 3 \\ - 2 x - 1, \end{matrix} \end{matrix}

tehát

4 x^{2} + 4 x y + y^{2} - 4 x - 2 y - 3 \equiv (y + 2 x - 3) (y + 2 x + 1),

azaz egyenletünk az

y + 2 x - 3 = 0

és

y + 2 x + 1 = 0

egyenesekből álló egyenespárt jelenti. A két egyenes egymással párhuzamos.
(Elfajuló parabola!)

Boromissza Jenő és Lestál Lajos (Bencés g. VIII. o. Esztergom.)

Jegyzet. Az adott esetben

λ = 4

mellett a

\begin{matrix} λ x^{2} + 4 x y + y^{2} \end{matrix}

kifejezés discriminánsa is eltűnik. Ezen discrimináns eltűnése azonban azt jelenti, hogy parabola-fajú görbével van dolgunk.