Kezdőlap


Feladat:	1493. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Egger G. , Fonó Katalin , Freud Géza , Fuchs L. , Hoffmann Tibor , Horváth M. , Jakab Károly , Lang I. , Lőke Endre , Margulit György , Pál Sándor , Petricskó M. , Sándor Gyula , Sellmann Tibor , Taksony György , Tellmann Gizella , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/május, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/február: 1493. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) gyökeit jelöljék $x_{2}, x_{3}$ , a (2)-ét $x_{3}, x_{1}$ , a (3)-ét $x_{1}, x_{2}$ .
Nyilván:

\begin{matrix} a_{1} = x_{2} + x_{3}, & a_{2} = x_{3} + x_{1}, & a_{3} = x_{1} + x_{2}, \\ b_{1} = x_{2} x_{3}, & b_{2} = x_{3} x_{1}, & b_{3} = x_{1} x_{2} . \end{matrix}

Már most legyen

A = x_{1} + x_{2} + x_{3} = \frac{1}{2} (a_{1} + a_{2} + a_{3})

.
Ekkor

x_{1} = A - a_{1}, x_{2} = A - a_{2}, x_{3} = A - a_{3}

,
és így

b_{1} = (A - a_{2}) (A - a_{3}), b_{2} = (A - a_{3}) (A - a_{1}), b_{3} = (A - a_{1}) (A - a_{2})

.
Tehát a szóbanforgó feltétel szükséges. Vizsgáljuk még meg, hogy elegendő-e? Tekintsük tehát az

\begin{matrix} x^{2} - a_{1} x + (A - a_{2}) (A - a_{3}) = 0 ... \end{matrix}

(1a)

egyenlet gyökeit. Minthogy

\begin{matrix} (A - a_{2}) + (A - a_{3}) = 2 A - (a_{2} + a_{3}) = a_{1} + a_{2} + a_{3} - (a_{2} + a_{3}) \equiv a_{1} . \end{matrix}

az 1

a

) gyökei

A - a_{2} = x_{2}

, és

A - a_{3} = x_{3}

\begin{matrix} Hasonlóan & x^{2} - a_{2} x + (A - a_{3}) (A - a_{1}) = 0 & egyenlet gyökei \\ A - a_{3} = x_{3} és A - a_{1} = x_{1}, \\ az & x^{2} - a_{3} x + (A - a_{1}) (A - a_{2}) = 0 & egyenlet gyökei: \\ A - a_{1} = x_{1} és A - a_{2} = x_{2} . & Q. e. d. \end{matrix}

Csáki Frigyes (Bolyai g. VIII. o. Bp. V.)