Kezdőlap


Feladat:	1490. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bali J. , Bán T. , Bizám György , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Deák András , Freud Géza , Hajnal Miklós , Hamza Aladár , Hoffmann Tibor , Jakab Károly , Josepovits Gyula , Klein József , Lengyel S. , Lőke Endre , Margulit György , Nádler Miklós , Perl I. , Sándor Gyula , Taksony György , Volena-Koczor Imre , Zsarnay K.
Füzet:	1939/március, 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1490. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A gömböv felszíne: $F = 2 R π m$ , ahol $m$ a gömböv, ill. a megfelelő gömbréteg magassága. Minthogy $F$ és $R$ állandó, kell, hogy $m$ is állandó legyen.
Állandó magasságú gömbréteg térfogata legnagyobb akkor, ha (a határoló síkokkal) párhuzamos síkmetszetek területei a legnagyobbak; ez bekövetkezik akkor, ha a gömb legnagyobb körének síkja a gömbréteg magasságát merőlegesen felezi.
II. Megoldás. A gömbréteget határoló körök sugarai $r_{1}$ és $r_{2}$ . A térfogata:

\begin{matrix} V = \frac{1}{6} π m^{3} + \frac{1}{2} π m (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}) . \end{matrix}

Jelölje

r

a határoló körök távolságát

(m)

merőlegesen felező síkmetszet sugarát; ekkor

\begin{matrix} r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = 2 r^{2} - \frac{1}{2} m^{2} . \end{matrix}

V

értéke legnagyobb akkor, ha

r_{1}^{2} + r_{2}^{2}

összeg a legnagyobb; ez bekövetkezik akkor, ha

r = R

\begin{matrix} V_{max} = \frac{1}{6} π m^{3} + \frac{1}{2} π m (2 R^{2} - \frac{1}{2} m^{2}) = π m R^{2} - \frac{1}{12} π m^{3} . \end{matrix}

Jegyzet. Ha

m = 2 R

, akkor ezen térfogati érték

\frac{4}{3} π R^{3}

lesz!

III. Megoldás.

Az előbbi megoldásban láttuk, hogy a gömbréteg térfogata az

r_{1}^{2} + r_{2}^{2}

összegtől függ. Tekintsük független változónak az

r_{2}

sugarú síkmetszet

x

távolságát a rá merőleges gömbátmérő végpontjától. Az

r_{1}

sugarú síkmetszet távolsága ugyanazon végponttól

x + m

. Eszerint, tekintettel arra, hogy

r_{1}

ill.

r_{2}

mértani középarányos az átmérő megfelelő két szelete között,

\begin{matrix} r_{2}^{2} = x (2 R - x), r_{1}^{2} = (x + m) [2 R - (x + m)], \\ r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = - 2 x^{2} + (4 R - 2 m) x + 2 R m - m^{2}, \end{matrix}

azaz:

r_{1}^{2} + r_{2}^{2}

x

-nek oly másodfokú függvénye, melynek maximuma van, ha

\begin{matrix} x = \frac{4 R - 2 m}{4} = R - \frac{m}{2} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} x + m = R + \frac{m}{2} . \end{matrix}

A gömbréteget határoló síkok távolsága a gömb középpontjától egyenlő

\frac{m}{2}

-vel.

Hamza Aladár (Kegyesrendi g. VIII. o. Szeged.)