Kezdőlap


Feladat:	1489. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Sándor Gyula , Taksony György
Füzet:	1939/március, 180. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Simson-egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1489. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $K$ pontból $A C$ oldalra állított merőleges talppontja legyen $B_{1}$ , az $A B$ oldalra merőlegesé $C_{1}$ . A $K$ ponthoz tartozó Simson-egyenes: $B_{1} C_{1}$ . Minthogy $A B_{1} K ∢ = A C_{1} K ∢ = 90^{\circ}$ , az $A K B_{1} C_{1}$ idom húrnégyszög és ezért $K A B_{1} ∢ = K C_{1} B ∢$ , mint egyenlő ívekhez tartozó kerületi szögek.

A háromszög köré írt körben

D O K ∢

oly középponti szög, mely a

\hat{K C}

ív felének felel meg, tehát egyenlő a

\hat{K C}

ívhez tartozó

K A C

kerületi szöggel; mivel pedig

K A C ∢ \equiv K A B_{1} ∢

, egyszersmind

D O K ∢ = K C_{1} B_{1} ∢

. Azonban

D O ⊥ A B

és így

D O ∥ K C_{1}

. Ebből következik, hogy

B_{1} C_{1} ∥ K O

.
Már most hivatkozunk azon tételre, amely szerint a

K

ponthoz tartozó Simson-egyenes felezi a

K H

távolságot, ahol

H

a háromszög magassági pontja.^{$^{*}$} Eszerint a

K

ponthoz tartozó egyenes,

B_{1} C_{1}

, párhuzamos az

O K H △

O K

oldalával és

K H

-t felezi (az

M

pontban); kell tehát, hogy

O H

-t is felezze az

F

pontban.
Ezen

F

pont azonban a háromszög Feuerbach körének középpontja!

Hoffmann Tibor (Szent-István g. VII. o. Bp. XIV.).

^{$^{*}$}Ha a számlálót növelem és a nevezőt kisebbítem, nagyobbat kapok!