Kezdőlap


Feladat:	1488. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Fonó András , Sándor Gyula
Füzet:	1939/március, 179 - 180. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Trigonometriai azonosságok, Trigonometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1488. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenlőtlenségünk bal oldalának átalakításával keletkezik:

\begin{matrix} \frac{2 sin \frac{γ + β}{2} sin \frac{γ - β}{2}}{2 sin \frac{β + α}{2} sin \frac{β - α}{2}} > \frac{8}{π^{2}} \cdot \frac{γ - β}{β - α} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{sin \frac{γ + β}{2}}{sin \frac{β + α}{2}} > \frac{8}{π^{2}} \cdot \frac{sin \frac{β - α}{2}}{\frac{β - α}{2}} : \frac{sin \frac{γ - β}{2}}{\frac{γ - β}{2}} \dots \end{matrix}

(2)

Feltételünk szerint

0 < \frac{β + α}{2} < \frac{γ + β}{2} < \frac{π}{2}

Ebből következik, hogy a (2) bal oldala az egységnél nagyobb. Kimutatjuk, hogy a jobb oldal az egységnél kisebb. Az 1487. feladat II. megoldásában láttuk, hogy

\frac{sin x}{x}

[0, \frac{π}{2}]

közben 1-től

\frac{2}{π}

-ig állandóan fogy, tehát

\begin{matrix} \frac{sin \frac{β - α}{2}}{\frac{β - α}{2}} < 1. [0 < \frac{β - α}{2} < \frac{π}{2}] . \end{matrix}

Továbbá

0 < \frac{γ - β}{2} < \frac{π}{4}

és így

\frac{sin \frac{γ - β}{2}}{\frac{γ - β}{2}} > \frac{sin \frac{π}{4}}{\frac{π}{4}} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} \cdot \frac{4}{π}

Eszerint

\frac{8}{π^{2}} \cdot \frac{sin \frac{β - α}{2}}{\frac{β - α}{2}} : \frac{sin \frac{γ - β}{2}}{\frac{γ - β}{2}} < \frac{8}{π^{2}} \cdot 1 : \frac{\sqrt[]{2}}{2} \cdot \frac{4}{π}

.^{$^{*}$}

A jobb oldali hányados:

\frac{8}{π^{2}} : \frac{2 \sqrt[]{2}}{π} = \frac{8}{2 \sqrt[]{2}} \cdot \frac{1}{π} = \frac{2 \sqrt[]{2}}{π} < \frac{3}{π} < 1.

Ezzel tehát tételünket igazoltuk.

Bizám György (Bolyai g. VII. o. Bp. V)

^{$^{*}$}L. X. évfolyam ─

1933 / 12

─ 107. o. a 950. feladatban.