Kezdőlap


Feladat:	1487. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bán Tamás , Bizám György , Boromissza J. , Csuri Vilmos , Deák András , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Horváth M. , Jakab Károly , Josepovits Gyula , Kézdi Ferenc , Klein József , Lang I. , Lengyel S. , Lestál Lajos , Lőke Endre , Margulit György , Nádler Miklós , Relle Ferenc , Sándor Gyula , Taksony György , v. Rigó M.
Füzet:	1939/március, 178 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Függvény határértéke, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1487. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ábrázoljuk az $y = sin x$ függvényt 0 és $\frac{π}{2}$ között; a függvény-görbe keresztülmegy a ( $0, 0$ ), $(\frac{π}{2}, 1)$ pontokon és a szóban forgó ív alulról konkáv. A két határpontot összekötő húr a görbe íve alatt fekszik (az ív és az $X$ tengely között), e két határpontot összekötő egyenes egyenlete $y = \frac{2}{π} x$ .
Ha tehát a megadott intervallumban valamely $x$ értékhez tartozó pontot keresünk a sinusgörbén, ill. a szóbanforgó húrján, akkor az előbbi ordinátája (t. i. $sin x$ ) nagyobb, mint az utóbbié (t. i. $\frac{2}{π} x$ ); a határpontokban ezen ordináták egyenlők és így, ha

\begin{matrix} 0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}, akkor sin x ≧ \frac{2}{π} x . \end{matrix}

Bán Tamás (érseki g. VII. o. Bp. II.)

II. Megoldás. Vizsgáljuk az

y = \frac{sin x}{x}

függvény változását a

[0, \frac{π}{2}]

közben. Ezen köz határain:

\begin{matrix} y_{1} = {lim}_{x \to 0}^{} \frac{sin x}{x} = 1 és y_{2} = \frac{sin \frac{π}{2}}{\frac{π}{2}} = \frac{1}{\frac{π}{2}} = \frac{2}{π} . \end{matrix}

Kimutatjuk. hogy a

[0, \frac{π}{2}]

közben

y = \frac{sin x}{x}

állandóan fogy. Ugyanis

\begin{matrix} y' = \frac{x cos x - sin x}{x^{2}} = \frac{cos x (x - tg x)}{x^{2}} . \end{matrix}

[0, \frac{π}{2}]

közben

cos x > 0

, míg

x - tg x < 0

, tehát

y' < 0

. Eszerint az

y = \frac{sin x}{x}

függvény értéke a szóbanforgó közben 1-től fogy

\frac{2}{π}

-ig és így valóban

\begin{matrix} \frac{sin x}{x} ≧ \frac{2}{π} azaz sin x ≧ \frac{2}{π} x . \end{matrix}

(Q.e.d.)

Josepovits Gyula (Könyves Kálmán g. VII o. Ujpest.)

Jegyzet. Hasonlóan vizsgálhatjuk az

y = sin x - \frac{2}{π} x

függvény változását is. Erről kiderül, hogy a

[0, \frac{π}{2}]

köz határain 0, a közben mindenütt pozitív.

(Taksony Gy.)

III. Megoldás. Az egység sugarú körben

2 x

ívhez tartozó húr hossza

2 sin x

; feltesszük, hogy

0 ≦ 2 x ≦ π

. Ezen húr felével, a húr középpontjából szerkesztett félkör hossza

π sin x

Két ponton (

A

és

B

) átmenő körök ívei legyenek

i_{1}

i_{2}

. Ha

i_{1}

középpontja a két pont távolságát merőlegesen felező egyenesen messzebb van a

C

felezőponttól, mint

i_{2}

-é, akkor

i_{1}

A B

és

i_{2}

között fekszik. Az adott esetben tehát az egységsugarú kör

2 x

íve az

\frac{1}{2} A B

sugarú

π sin x

íven belül fekszik.
Ha azonban két pontot két állandóan konvex törtvonal köt össze, akkor ezek közül a belső rövidebb. Ugyanez áll két állandóan konvex görbe vonalra is. Ebből következik, hogy

\begin{matrix} π sin x > 2 x ill. sin x > \frac{2}{π} x . \end{matrix}

x = 0

, vagy

x = \frac{π}{2}

, akkor a két görbe ív összeesik ; ezen határesetekben tehát

sin x = \frac{2}{π} x

Relle Ferenc (Révai Miklós g. VII. o. Győr.)