Feladat:	1485. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György ,  Engel J. ,  Fonó Péter ,  Forgács Péter ,  Freud Géza ,  Hajnal Miklós ,  Hoffmann Tibor ,  Klein József ,  Lőke Endre ,  Maczelka L. ,  Sándor Gyula ,  Taksony György ,  Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/március, 175 - 176. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Hiperbola egyenlete, Koordináta-geometria, Hiperbola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1485. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle AB\left(x^2-y^2\right)-\left(A^2-B^2\right)xy=C\text{...}}\end{array}$ (1) oly kúpszelet egyenlete, melynek középpontja az origó. Hogy a kúpszeletnek van e végtelenben fekvő pontja, az (1) bal oldalának, t i. $\begin{array}{c}{\displaystyle AB{x}^2-\left(A^2-B^2\right)xy-AB{y}^2}\end{array}$ discriminánsa dönti el. Ezen discrimináns $\begin{array}{c}{\displaystyle \delta ={\left(A^2-B^2\right)}^2+4A^2{B}^2={\left(A^2+B^2\right)}^2>\mathrm{0,}}\end{array}$ tehát a végtelenben két különböző irányhoz tartozó pontja van. Ezen irányokat az $\begin{array}{c}{\displaystyle AB{x}^2-\left(A^2-B^2\right)xy-AB{y}^2=0\text{...}}\end{array}$ (2) egyenespár egyenesei határozzák meg. (2)-t $x$ szerint megoldva: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{\left(A^2-B^2\right)y\pm \left(A^2+B^2\right)y}{2AB}=\{{\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{A}{B}y}\\ \hfill {\displaystyle -\frac{B}{A}y}\end{array}}}\end{array}$ (3) azaz a (2) bal oldala $\left(Bx-Ay\right)\left(Ax+By\right)$ alakban írható. Az aszimptoták iránya eszerint megegyezik a $\begin{array}{c}{\displaystyle Bx-Ay=\mathrm{0,}Ax+By=0\text{...}}\end{array}$ (4) egyenesek irányával. Ezen egyenesek az origón, azaz a hiperbola középpontján mennek keresztül és így ezek az aszimptoták. A (4) alatti két egyenes merőleges egymásra, tehát egyenlőszárú hiperbolával van dolgunk. Ha $C=0$, akkor a hiperbola a (4) alatti egyenesekből álló egyenespárrá fajul. Ha $A=0$ de $B\ne 0$ és $C\ne 0$, vagy ha $B=0$ de $A\ne 0$ és $C\ne 0$, akkor a hiperbola aszimptotái a koordinátatengelyek.   Bizám György (Bolyai g. VII. o. Bp. V.).   Jegyzet. $x\text{'}=Bx-Ay$, $y\text{'}=Ax+By$ nem szolgálhatnak transzformáció alapjául, mert nincs kikötve, hogy $A^2+B^2=1$ legyen.