Kezdőlap


Feladat:	1483. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Jakab Károly , Klein József , Margulit György , Mendelsohn György , Nádler Miklós , Perl I. , Sándor Gyula , Taksony György , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/március, 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1483. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyításnál szem előtt tartjuk a binomiális együtthatók tulajdonságát, t. i.

\begin{matrix} (\binom{r}{s}) = (\binom{r - 1}{s}) + (\binom{r - 1}{s - 1}) . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) - (\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k - 2}) - \dots + {(- 1)}^{k - 1} (\binom{n}{1}) + {(- 1)}^{k} (\binom{n}{0}) = \\ = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1}) - (\binom{n - 1}{k - 1}) - (\binom{n - 1}{k - 2}) + (\binom{n - 1}{k - 2}) + (\binom{n - 1}{k - 3}) - (\binom{n - 1}{k - 3}) - \dots \\ \dots + {(- 1)}^{k - 2} (\binom{n - 1}{1}) + {(- 1)}^{k - 1} (\binom{n - 1}{1}) + {(- 1)}^{k - 1} (\binom{n - 1}{0}) + {(- 1)}^{k} (\binom{n}{0}) = \\ = (\binom{n - 1}{k}) . \end{matrix}

A baloldalon a második tagtól kezdve ugyanazon szám kétszer szerepel, ellenkező előjellel. A két utolsó tag:

\begin{matrix} {(- 1)}^{k - 1} (\binom{n - 1}{0}) + {(- 1)}^{k} (\binom{n}{0}) = {(- 1)}^{k - 1} + {(- 1)}^{k} = 0. \end{matrix}

Így a baloldalon csak

(\binom{n - 1}{k})

marad meg.

Jakab Károly (Kath. g. VIII. o. magántanuló, Kalocsa.)