Kezdőlap


Feladat:	1482. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Freud Géza , Pál Sándor , Sándor Gyula , Taksony György
Füzet:	1939/március, 173 - 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Természetes számok, Kettes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1482. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $α$ és $2 a$ egyazon első osztályban volnának. Ez csak úgy lehetséges, ha

pl.

\begin{matrix} 2^{2 s'} (1 + 2^{ν'_{1}} + \dots + 2^{ν'_{2 k}}) = 2 \cdot 2^{2 s''} (1 + 2^{ν''_{1}} + \dots + 2^{ν''_{2 i}}) ... \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} 2^{2 s} (1 + 2^{ν_{1}} + \dots + 2^{ν_{2 k}}) = 2 \cdot 2^{2 k + 1} (1 + 2^{μ_{1}} + \dots + 2^{μ_{2 r + 1}}) ... \end{matrix}

(2)

vagy

\begin{matrix} 2^{2 l + 1} (1 + 2^{μ_{1}} + \dots + 2^{μ_{2 r + 1}}) = 2 \cdot 2^{2 s} (1 + 2^{ν_{1}} + \dots + 2^{ν_{2 k}}) ... \end{matrix}

(3)

vagy

\begin{matrix} 2^{2 l' + 1} (1 + 2^{μ'_{1}} + \dots + 2^{μ'_{2 r + 1}}) = 2 \cdot 2^{2 l'' + 1} (1 + 2^{μ''_{1}} + \dots + 2^{μ''_{2 l + 1}}) ... \end{matrix}

(4)

Az 1) és 4) nem állhat meg, mert ezen egyenlőségek egyik oldala 2-nek páros, a másik 2-nek páratlan kitevőjű hatványával osztható.
A 2) csak úgy teljesülhet, ha

2^{2 s} = 2^{2 k + 2}

. Ekkor azonban

\begin{matrix} 1 + 2^{ν_{1}} + \dots + 2^{ν_{2 k}} = 1 + 2^{μ_{1}} + \dots + 2^{μ_{2 r + 1}} ... \end{matrix}

(2a)

egyenlethez jutunk; ez nem állhat meg, mert minden szám a kettes számrendszerben csak egyféleképpen írható fel. Márpedig a 2a) baloldala oly szám, mely a kettes számrendszerben páratlan számú, ‐ zérustól különböző ‐ jeggyel bír, míg a jobboldali szám jegyeinek száma páros.
Ugyanilyen megoldással igazoljuk, hogy a 3) is lehetetlenséget tartalmaz.
A második osztályba tartozó számok

\begin{matrix} 2^{2 n + 1} (1 + 2^{λ_{1}} + 2^{λ_{2}} + \dots + 2^{λ_{2 μ}}) vagy 2^{2 m} (1 + 2^{j_{1}} + 2^{j_{2}} + \dots + 2^{j_{2 v + 1}}) \end{matrix}

alakúak: Ezekre nézve hasonlóan bizonyítható tételünk.

Sándor Gyula (Kölcsey Ferenc g. VIII. o. Bp. VI.)