Kezdőlap


Feladat:	1481. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bali J. , Bán T. , Bizám György , Bodnár Éva , Bodnár J. , Boromissza J. , Büchler E. , Csuri Vilmos , Czuppon Piroska , Deák András , Enger J. , Fonó András , Fonó Katalin , Fonó Péter , Forgács P. , Freud Géza , Fuchs László , Hoffmann Tibor , Horváth M. , Jakab Károly , Kispál Margit , Klein József , Kovács Mária , Lang I. , Lestál Lajos , Lőke Endre , Major B. , Margulit György , Máté I. , Ozoróczy Gyula , Pál Sándor , Relle F. , Sándor Gyula , Schütz B. , Soós Margit , Szittyai Dezső , Taksony György , Tellmann Gizella , v. Rigó M. , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/március, 172 - 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Szorzat, hatvány számjegyei, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1481. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Háromjegyű szám négyzete ötjegyű, ha első jegyének négyzete egyjegyű. Eszerint( $x = 0$ , $z = 0$ értékeket kizárva)

\begin{matrix} x = 1, 2, 3 és z = 1, 2, 3. \end{matrix}

Így azonban

\begin{matrix} {\bar{x y z}}^{2} = \bar{a b c d e} miatt e = z^{2}, ... \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} {\bar{z y x}}^{2} = \bar{e d c b a} miatt a = x^{2}, ... \end{matrix}

(2)

A négyzetszámok első jegyei maguk is négyzetszámok; tehát

2 x y

ill.

2 y z

szorzatok nem növelik a négyzet első jegyét. Ezért

2 x y

és

2 y z

egyjegyű számok, azaz

\begin{matrix} x y < 5 és z y < 5 ... \end{matrix}

(3)

z^{2} = e

és

x^{2} = a

miatt

z^{2}

és

x^{2}

nem járulnak a négyzetszámok tízeseinek növeléséhez. A tízesek száma csak a

\begin{matrix} 2 z (10 x + y) ill. 2 x (10 z + y) \end{matrix}

szorzat egyesei lehetnek, azaz

2 z y

ill.

2 x y

. Ezek azonban egyjegyűek és így

\begin{matrix} d = 2 z y, b = 2 x y ... \end{matrix}

(4)

2 z x

szorzat mind a két számnál a négyzetszám százasait növeli. Másrészt ‐ a (4) szerint ‐ a négyzetszám ezreseit (b és d) nem növeli

y^{2}

, tehát

y^{2}

is egyjegyű.
Most már a négyzetszám százasai helyén álló

\begin{matrix} c = y^{2} + 2 z x < 10 ... & (5) \\ x ≧ 1 és z ≧ 1 miatt y^{2} < 8; így \\ y = 0, 1, 2, és z x < 5. & (6) \end{matrix}

Tekintettel tehát

x, y, z

számba vehető értékeire, a követelménynek megfelelnek:

\begin{matrix} y = 0 & esetében & 101, 102, 103, 201, 202, 301 \\ y = 1 & '' & 111, 112, 113, 211, 212, 311, \\ y = 2 & '' & 121, 122, 221. \end{matrix}

Ozoróczy Gyula (Verbőczy István g. VII. o. Bp. I.)