Kezdőlap


Feladat:	1480. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Czipott Zoltán , Grosz László , Hoffmann I. , Jakab Károly , Klein József , Margulit György , Petrovics J. , Sándor Gyula , Taksony György , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/február, 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Térgeometriai bizonyítások, Feladat, Terület, felszín
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1480. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $r$ a gömb sugarát, $a$ , $b$ , $c$ a $P$ ponton átmenő síkmetszetek sugarát, $a'$ , $b'$ , $c'$ ezen síkok távolságát a gömb $O$ középpontjától. A szóbanforgó három kör kerületének összege: $a^{2} π + b^{2} π + c^{2} π = (a^{2} + b^{2} + c^{2}) π$ . Ki kell mutatunk, hogy

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = constans. \end{matrix}

Azonban:

\begin{matrix} a^{2} = r^{2} - a'^{2}, b^{2} = r^{2} - b'^{2}, c^{2} = r^{2} - c'^{2} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 r^{2} - (a'^{2} + b'^{2} + c'^{2}) . \end{matrix}

P

pont egy derékszögű triéder csúcsa;

a'

b'

c'

ezen triéder lapjaira állított merőlegesek, melyek az

O

pontból indulnak ki, szintén egy derékszögű triéder élei; ezen triéder lapjai párhuzamosak a

P

csúcshoz tartozó derékszögű triéder lapjaival, azaz:

O P

egy derékszögű parallelepipedon átlója, melynek

O

csúcsából kiinduló élek

a'

b'

c'

; ezért

\begin{matrix} a'^{2} + b'^{2} + c'^{2} = \bar{O P^{2}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 r^{2} - \bar{O P^{2}} = constans ... Q . e . d . \end{matrix}

Grosz László (Balassi Bálint g. VIII. o. Balassagyarmat)