Kezdőlap


Feladat:	1479. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csáki Frigyes , Freud Géza , Grosz L. , Hoffmann Tibor , Klein József , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/február, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Háromszögek nevezetes tételei, Feladat, Pont körre vonatkozó hatványa, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1479. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A A_{1}

B B_{1}

C C_{1}

transzverzálisokra érvényes Céva-tétele, amely szerint:

\begin{matrix} \frac{A C_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{C A_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{A B_{1}} = - 1 ... \end{matrix}

(1)

A_{1}

B_{1}

C_{1}

pontokon átmenő körre vonatkoztatva fejezzük ki az

A

B

C

csúcsok hatványát:

\begin{matrix} \bar{A C_{1}} \cdot \bar{A C_{2}} & = \bar{A B_{1}} \cdot \bar{A B_{2}} ... & (2) \\ \bar{B A_{1}} \cdot \bar{B A_{2}} & = \bar{B C_{1}} \cdot \bar{B C_{2}} ... & (3) \\ \bar{C A_{1}} \cdot \bar{C A_{2}} & = \bar{C B_{1}} \cdot \bar{C B_{2}} ... & (4) \end{matrix}

2), 3) és 4) szerint

\frac{A C_{1}}{A B_{1}} = \frac{A B_{2}}{A C_{2}}

\frac{B A_{1}}{B C_{1}} = \frac{B C_{2}}{B A_{2}}

\frac{C B_{1}}{C A_{1}} = \frac{C A_{2}}{C B_{2}}

.
Helyettesítve ezeket 1)-be:

\begin{matrix} \frac{A C_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{C A_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{A B_{1}} & = \frac{A C_{1}}{A B_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{C A_{1}} = \\ = \frac{A B_{2}}{A C_{2}} \cdot \frac{B C_{2}}{B A_{2}} \cdot \frac{C A_{2}}{C B_{2}} & = \frac{A B_{2}}{C B_{2}} \cdot \frac{C A_{2}}{B A_{2}} \cdot \frac{B C_{2}}{A C_{2}} = - 1 ... \end{matrix}

Ebből következik, hogy az

A A_{2}

B B_{2}

C C_{2}

transzverzálisok is egy ponton mennek keresztül.

Volena-Koczor Imre (Révai Miklós g. VIII. o. Győr)