Kezdőlap


Feladat:	1478. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Bodnár J. , Csáki Frigyes , Freud Géza , Grosz L. , Hoffmann Tibor , Klein József , Kovács Illés , Margulit György , Máté I. , Petrovics J. , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/február, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merőleges affinitás, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Hatványvonal, hatványpont
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1478. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ellipszist, melynek főtengelyei $2 a$ , $2 b$ (és $a > b$ ), mint az $a$ sugarú kör affin transzformációját fogjuk fel. A transzformáció tengelye az ellipszis nagy tengelye, $A A'$ , karakterisztikája $\frac{a}{b}$ . ( $O A = a$ , $O B = b$ ; a $B$ pont a főkör $B_{1}$ pontjának transzformációja).

Messe a

d

egyenes

A A'

-t az

S

pontban.

B

ponton át

A A'

-vel párhuzamosan vont egyenes

d

-t a

P

-ben metszi. A

B_{1}

ponton át

A A'

-vel párhuzamost húzunk; a

P

ponton át pedig erre merőleges vetítő sugarat. Ez meghatározza rajta a

P_{1}

pontot. Már most

S

és

P_{1}

pontok meghatározzák azon

d_{1}

egyenest, melynek affin-transzformációja

d

. A

d_{1}

egyenes az

O A

sugarú főkört az

M_{1}

és

N_{1}

pontokban metszi. Ezekből

A A'

-re merőleges vetítő sugarakat állítunk; a vetítősugarak a

d

egyenest a keresett

M

és

N

pontokban metszik. Ezek lesznek az ellipszis és a

d

egyenes metszőpontjai.
Legyen

O

vetülete

d_{1}

-n

Q

. A szerkesztés lehetséges, ha

O Q ≦ a

. Az

S O Q

derékszögű háromszögben:

O Q = O S sin α_{1}

α_{1}

d

hajlásszöge az

A' A

tengelyhez. Jelölje a

α

d

hajlásszögét az

A' A

tengelyhez. A definíció szerint

\begin{matrix} tg α_{1} = tg α \cdot \frac{a}{b} és sin α_{1} = \frac{tg α_{1}}{\sqrt[]{1 + {tg}^{2} α_{1}}} . \end{matrix}

Már most

\begin{matrix} O S tg α_{1} ≦ a \sqrt[]{1 + {tg}^{2} α_{1}} . \\ O S tg α \frac{a}{b} ≦ a \sqrt[]{1 + {tg}^{2} α \cdot \frac{a^{2}}{b^{2}}} és innen {\bar{O S}}^{2} ≦ b^{2} {cotg}^{2} α + a^{2} . \end{matrix}

Eszerint adott

α

hajlásszögű

d

egyenesre nézve a metszéspont létezésének feltétele:

\begin{matrix} - \sqrt[]{a^{2} + b^{2} {cotg}^{2} α} ≦ O S ≦ \sqrt[]{a^{2} + b^{2} {cotg}^{2} α} . \end{matrix}

Kovács Illés (Fazekas Mihály g. VII. o. Debrecen.).

II. Megoldás. A főtengelyek segítségével meghatározhatjuk az ellipszis gyújtópontjainak,

F_{1}

és

F_{2}

helyét is. Vegyük tekintetbe továbbá az ellipszis egyik

K

vezérkörét, melynek középpontja

F_{1}

sugara

2 a

.
Az ellipszis mértani helye azon

k

körök középpontjainak, amelyek az

F_{2}

-n keresztülmennek és

K

-t (belülről) érintik.
Feladatunk most már az, hogy oly

k

kört határozzunk meg, melynek középpontja az

e

egyenesen fekszik. Ilyen

k

kör keresztül megy az

F_{2}

-nek

e

-re vonatkozó szimmetrikus pontján,

F'_{2}

is. Így olyan

k

kört kell szerkesztenünk, mely két adott ponton megy keresztül, (

F_{2}

és

F'_{2}

) és a

K

kört érinti.

K

és a keresett

k

kör hatványvonala a két kör közös

t

érintője. A

t

F_{2} F'_{2}

egyenest oly

E

pontban metszi, melynek hatványa az

F_{2}

F'_{2}

pontokon átmenő bármely körre ugyanakkora, t.i.

\bar{E F_{2}} \cdot \bar{E F'_{2}}

. Szerkesszünk tehát egy tetszőleges

γ

kört az

F_{1} F'_{2}

pontokon keresztül, mely a

K

kört metszi:

γ

és

K

hatványvonala közös húrjukat tartó egyenes lesz és ez is az

E

ponton megy keresztül. Ilyen módon megkaptuk az

F_{2} F'_{2}

egyenes

E

pontját: innen a

K

körhöz érintőket húzunk (

t_{1}

és

t_{2}

).
Az érintési pontokat összekötjük

F_{1}

ponttal: az összekötő egyenesek az

e

-t a keresett

k_{1}

és

k_{2}

körök középpontjaiban metszik. Ezek, t.i.

M_{1}

és

M_{2}

lesznek az ellipszis és az

e

egyenes metszéspontjai.
Bizám György (Bolyai g. VIII. o. Bp. V.).

Hoffmann Tibor (Szent-István g. VII. o. Bp. XIV.).

Jegyzet. A szerkesztés végezhető, ha

F'_{2}

nem esik a

K

körön kívül. Ha

F'_{2}

K

körre esik, akkor az

F_{2}

-ből

e

-re állított merőleges talppontja az ellipszis

O

középpontjától

a

-távolságban lesz, azaz ezen talppont a főkörön fekszik: ekkor

e

az ellipszis érintője. Ezen esetben

E

és

F'_{2}

összeesik;

F_{1} F'_{2}

e

-t azon pontban metszi, amelyben

e

az ellipszist érinti.