Kezdőlap


Feladat:	1477. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Bolgár Imre , Csáki Frigyes , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Klein József , Lőke Endre , Margulit György , Sándor Gyula , Taksony György , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/február, 151 - 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1477. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $d$ egyenes $M$ pontjából kiinduló $e_{1}$ egyenesen vegyük fel a $P_{1}$ pontot, amelyben az $F$ gyújtóponthoz és $d$ vezérvonalhoz tartozó parabolát az $e_{1}$ egyenes érinti. Ha $Q_{1}$ a $P_{1}$ vetülete a $d$ -n, akkor $P_{1} Q_{1} = P_{1} F$ ; ha $e_{1}$ érintő, akkor $e_{1}$ felezi az $F P_{1} Q_{1} ∢$ -et. Ebből következik, hogy $P_{1} Q_{1} M △ ≅ P_{1} F M △$ , azaz $e_{1}$ felezi a $Q_{1} M F ∢$ -et is: az $F$ pont oly $f$ egyenesen fekszik, mely $d$ -vel szimmetrikus erre nézve.

Kimutatjuk, hogy az

f

egyenes

e_{2}

-re is szimmetrikus

d

-vel. Ugyanis

P_{1} F

egyenes az

e_{2}

-t azon

P_{2}

pontban metszi, amelyben a

(d, F)

parabolát

e_{2}

érinti. Feltevésünk szerint

e_{2} \equiv M P_{2} ⊥ e_{1}

, tehát

e_{2}

felezi a

Q_{1} M F ∢

mellékszögét, az

F M Q_{2}

-t, ahol

Q_{2}

P_{2}

vetülete a

d

-n. Most már

M F P_{2} △ ≅ M Q_{2} P_{2} △

és ezért

P_{2} F = P_{2} Q_{2}

, továbbá

e_{2}

felezi az

F P_{2} Q_{2} ∢

-et. Így

P_{2}

csakugyan a

(d, F)

parabola érintési pontja az

e_{2}

-n.
A szóban forgó parabolák gyújtópontjainak mértani helye azon

f

egyenes, mely

d

-vel szimmetrikus úgy az

e_{1}

, mint az

e_{2}

-re nézve.

Sándor Gyula (Kölcsey Ferenc g. VIII. o. Bp. VI.)

Jegyzet.

1^{0}

. A

d

egyenes

M

pontja, amelyből az

e_{1}

és

e_{2}

egyenesek kiindulnak, azon parabola gyújtópontjának tekinthető, amely az

M

ponton átmenő és

d

-re merőleges egyenesben összeeső egyenespárrá fajul. ‐ A

d

egyenes nem tartozik a mértani helyhez, csak egy pontja, az

M

2^{0}

. Ismeretes, hogy a parabola gyújtópontjából valamely érintőre állított merőleges talppontja a csúcsérintőn fekszik.
Ha tehát

F

-ből

e_{1}

-re és

e_{2}

-re merőlegeseket állítunk és ezek talppontjai

N_{1}

és

N_{2}

, akkor

M N_{1} F N_{2}

téglalap, melynek

N_{1} N_{2}

átlója

d

-vel párhuzamos (csúcsérintő) és felezi

M F

-et. Ebből következik, hogy ha

F

ponton át

d

-vel párhuzamost húzunk, ennek az

e_{1}

és

e_{2}

közé eső darabját

F

felezi. Eszerint az

F

pont mértani helye azon egyenes, mely a

d

-vel párhuzamos egyeneseknek

e_{1}

és

e_{2}

közé eső szeletét felezi. (Freud Géza.)