Kezdőlap


Feladat:	1476. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Balázs P. , Bán T. , Bizám György , Bodnár J. , Bolgár Imre , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Czuczy Gy. , Deák András , Engel J. , Fonó András , Fonó Péter , Forgács Péter , Freud Géza , Grosz L. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Horváth S. , Jakab Károly , Klein József , Lengyel S. , Lőke Endre , Margulit György , Máté I. , Nádler Miklós , Petrovics J. , Pfeifer Béla , Sándor Gyula , Sellmann Tibor , Szabó Béla , Szittyai Dezső , Taksony György , v. Rigó M. , Vizi László , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/február, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Trigonometrikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1476. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ .

\begin{matrix} sin 3 x (n^{2} - 5 n + 3) sin x ... \end{matrix}

(1)

egyenletnek

sin x = 0

mindig egy megoldása.¹ Ugyanis

\begin{matrix} sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x, tehát (3 - 4 sin^{2} x) sin x = (n^{2} - 5 n + 3) sin x ... \end{matrix}

(2)

sin x ‡ 0

, egyszerűsítünk és így keletkezik

\begin{matrix} 3 - 4 sin^{2} x = n^{2} - 5 n + 3 ill. sin^{2} x = \frac{n (5 - n)}{4} ... \end{matrix}

(3)

A 3) egyenletnek akkor van elfogadható megoldása, ha

\begin{matrix} 0 < \frac{n (5 - n)}{4} ≦ 1 ... & (4) \\ n (5 - n) > 0, ha 0 < n < 5 ... & (5) \\ \frac{n (5 - n)}{4} ≦ 1, ha n (5 - n) ≦ 4 vagy n^{2} - 5 n + 4 ≦ 0 ... & (6) \end{matrix}

Minthogy

n^{2} - 5 n + 4 = (n - 1) (n - 4)

, a 6) feltétel ki van elégítve, ha

\begin{matrix} n < 1 vagy n ≧ 4 ... \end{matrix}

(7)

Az 5) és 7) alatti feltételek egybevetéséből keletkezik

\begin{matrix} 0 < n ≦ 1 és 4 ≦ n < 5 ... \end{matrix}

(8)

Eszerint

n

olyan értékei mellett van az 1)-nek megoldása, amelyek a 8) alatti intervallumokból valók.

2^{0}

. Ha

n^{2} - 5 n + 1 = 0

, vagyis

n (5 - n) = 1

, akkor 3)-ból

\begin{matrix} sin^{2} x = \frac{1}{4}, tehát sin x = \pm \frac{1}{2} . \end{matrix}

0

és

2 π

között megfelelnek:

\frac{π}{6}

π - \frac{π}{6}

π + \frac{π}{6}

és

2 π - \frac{π}{6}

.
Általában pedig:

2 k π + \frac{π}{6}

(2 k + 1) π - \frac{π}{6}

(2 k + 1) π + \frac{π}{6}

2 π - \frac{π}{6}

.
Ezen

4

csoport értékei

x = k π \pm \frac{π}{6}

alakban írhatók, ahol

k

bármely egész szám lehet.

Klein Jözsef (Izr. g. VIII. o. Debrecen)

sin x = 0

esetében

x = k π