Kezdőlap


Feladat:	1475. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Sándor Gyula , Taksony György
Füzet:	1939/február, 149 - 150. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koordináta-geometria, Kúpszeletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1475. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Másodrendű görbe, azaz kúpszelet egyenletével van dolgunk, melyet ‐ a kijelölt műveletek végrehajtása és rendezés után ‐ így írhatunk:

\begin{matrix} f (x, y) \equiv (a^{2} + a'^{2}) x^{2} + 2 (a b + a' b') x y + (b^{2} + b'^{2}) y^{2} = c^{2} . \end{matrix}

A kúpszelet nemét eldönti a másodfokú tagok discriminánsának előjele:

\begin{matrix} D = 4 {(a b + a' b')}^{2} - 4 (a^{2} + a'^{2}) (b^{2} + b'^{2}) = \\ = 4 (2 a b a' b' - a^{2} b'^{2} - a'^{2} b^{2}) = - 4 {(a b' - a' b)}^{2} . \end{matrix}

Eszerint

D ≦ 0

.
1) Ha

a b' - a' b = 0

, akkor

f (x, y)

egy elsőfokú kifejezés négyzete; azaz egyenletünk

\begin{matrix} {(A x + B y)}^{2} = c^{2} ill. (A x + B y + c) (A x + B y - c) = 0 \end{matrix}

alakban írható. Két párhuzamos egyenesből álló egyenes párral van dolgunk. (Elfajuló parabola!)
2) Ha

a b' - a' b ‡ 0

, akkor

D < 0

és hacsak

c ‡ 0

, ellipszissel van dolgunk, melynek középpontja az origo.¹

Az ellipszis valós; ugyanis

4

pontját könnyen kijelölhetjük. T.i. az origon átmenő

a x + b y = 0

, és

a' x + b' y = 0

egyeneseken az ellipszisnek két-két pontja fekszik.

\begin{matrix} Ha a x + b y = 0, akkor a' x + b' y = \pm c . \\ Ha a' x + b' y = 0, akkor a x + b y = \pm c . \end{matrix}

Ilyen módon négy elsőfokú egyenletrendszer

4

pontot határoz meg. Könnyen látható, hogy két-két pont az origóra nézve szimmetrikus helyzetű: az

a x + b y = 0

és

a' x + b' y = 0

egyeneseken az ellipszis átmérői feküsznek.
Az

a' x + b' y = \pm c

egyenesek az ellipszis párhuzamos érintői. Ugyanis, ha

a' x + b' y = \pm c

, akkor

{(a x + b y)}^{2} = 0

, azaz a szóban forgó egyeneseknek az ellipszissel két összeeső közös pontjuk van.
Az

a' x + b' y = \pm c

érintők párhuzamosak az

a' x + b' y = 0

egyenesen fekvő átmérővel. Hasonlóan az

a x + b y = \pm c

érintők párhuzamosak az

a x + b y = 0

átmérővel. Ebből következik, hogy

\begin{matrix} a x + b y = 0, a' x + b' y = 0 \end{matrix}

konjugált átmérők hordozói. Az ellipszis pedig az

\begin{matrix} a x + b y = \pm c, a' x + b' y = \pm c \end{matrix}

4

egyenes által határolt síkrészben fekszik.
Ha

c = 0

; akkor az

\begin{matrix} {(a x + b y)}^{2} + {(a' x + b' y)}^{2} = 0 \end{matrix}

egyenletet csak egy valós pont koordinátái, t.i. az origóé, elégítik ki. Azt is mondhatjuk, hogy ezen esetben képzetes egyenespárral van dolgunk.

¹Ha a kúpszelet egyenletéből az elsőfokú tagok hiányoznak, a kúpszeletek középpontja az origo. Ekkor ugyanis, ha

(x, y)

a kúpszelet egy pontja, akkor

(- x, - y)

is a kúpszeleten fekszik azaz a kúpszelet pontjai az origóra nézve szimmetrikus helyzetűek.