Feladat:	1474. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs P. ,  Bán T. ,  Bizám György ,  Bolgár Imre ,  Böröcz Imre ,  Csáki Frigyes ,  Deák András ,  Forgács Péter ,  Grosz L. ,  Hajnal Miklós ,  Hoffmann Tibor ,  Jakab Károly ,  Klein József ,  Laub György ,  Pál Sándor ,  Petroivics J. ,  Sándor Gyula ,  Sellmann Tibor ,  Taksony György ,  Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/február, 148 - 149. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Háromszögek hasonlósága, Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1474. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. Megoldás. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{{\overline{OA}}^2}+\frac{1}{{\overline{OB}}^2}=\frac{1}{k^2}\mathrm{,}\text{ tehát}\frac{{\overline{OB}}^2+{\overline{OA}}^2}{{\overline{OA}}^2\cdot {\overline{OB}}^2}=\frac{1}{k^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Azonban $\begin{array}{c}{\displaystyle {\overline{OB}}^2+{\overline{OA}}^2={\overline{AB}}^2\text{és}\overline{OA}\cdot \overline{OB}=\overline{AB}\cdot OM\mathrm{,}}\end{array}$ ha $M$ az $O$ vetülete az $AB$-n. Eszerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\overline{AB}}^2}{{\overline{AB}}^2\cdot {\overline{OM}}^2}=\frac{1}{k^2}\text{ és innen }OM=k\mathrm{.}}\end{array}$ Az $M$ pont mértani helye kör, melynek középpontja $O$ és sugara $k$.   Pál Sándor (Bolyai g. V. o. Bp.)   II. Megoldás. Legyen $OA=a$, $OB=b$; az $M$ pont koordinátái $\left(x\mathrm{,}y\right)$. Az $M$ pont az egyenesen van és ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\text{...}}\end{array}$ (1) Az $OM\perp AB$ és ezért $\frac{y}{x}=\frac{a}{b}$, ill. $\begin{array}{c}{\displaystyle ax-by=0\text{...}}\end{array}$ (2) Feltételünk szerint pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{k^2}\text{...}}\end{array}$ (3) Ezen három egyenletből ki kell küszöbölnünk $a$- és $b$-t. 1)-ből és 2)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{x^2+y^2}{x}\mathrm{,}b=\frac{x^2+y^2}{y}\mathrm{.}}\end{array}$ Helyettesítve ezeket 3)-ba: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{{\left(x^2+y^2\right)}^4}=\frac{1}{k^2}\text{és így}{x}^2+y^2=k^2}\end{array}$ az $M$ pont koordinátái között fennálló összefüggés; eszerint az $M$ pont mértani helye kör, melynek középpontja $O$ és sugara $k$.   Deák András (Érseki g. VII. o. Bp. II.)   III. Megoldás. Jelentse $p=OM$ az $AB$ egyenes távolságát a koordinátarendszer $O$ pontjától és $\alpha$ azon szöget, melyet $p$ az $X$-tengellyel bezár. Az $AB$ egyenes egyenletének normális alakja: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\text{cos}\alpha +y\text{sin}\alpha =p\text{vagy}\frac{x}{\frac{p}{\text{cos}\alpha }}=\frac{y}{\frac{p}{\text{sin}\alpha }}=1.}\end{array}$ Eszerint $OA=\frac{p}{\text{cos}\alpha }$, $OB=\frac{p}{\text{sin}\alpha }$ és így a fenti 3) egyenlet alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{cos}{}^2\alpha }{p^2}+\frac{\text{sin}{}^2\alpha }{p^2}=\frac{1}{p^2}=\frac{1}{k^2}\mathrm{,}\text{ azaz }p=OM=k\mathrm{.}}\end{array}$ Az $AB$ egyenes vagy a kezdőpontnak azon való vetülete állandó távolságban van a kezdőponttól. Eszerint a vetület mértani helye kör, melynek középpontja $O$, sugara $k$.   Bizám György (Bolyai g. VIII. o. Bp. V.) Sándor Gyula (Kölcsey Ferenc g. VIII. o. Bp. VI.)