Kezdőlap


Feladat:	1473. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázs P. , Bán T. , Bizám György , Bodnár J. , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Engel J. , Fonó András , Forgács Péter , Freud Géza , Grosz L. , Hoffmann Tibor , Katona László , Klein József , Lőke Endre , Margulit György , Nádler Miklós , Sándor Gyula , v. Rigó M. , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/február, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Síkgeometriai szerkesztések, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1473. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ Az $S A B$ egyenlőszárú háromszögben $S H ⊥ A B$ és így $S H$ felezi $A B$ -t. Az $S A B △$ területe: $y = A H \cdot S H = x \cdot S H$ .
Az $S O H$ derékszögű háromszögben ${\bar{S H}}^{2} = {\bar{S O}}^{2} + {\bar{O H}}^{2}$ .
Minthogy $O H ⊥ A B$ , ${\bar{O H}}^{2} = R^{2} - x^{2}$ és ${\bar{S H}}^{2} = h^{2} + R^{2} - x^{2}$ .
Eszerint

\begin{matrix} y = x \sqrt[]{h^{2} + R^{2} - x^{2}} = \sqrt[]{(h^{2} + R^{2}) x^{2} - x^{4}} . \end{matrix}

2^{0}

. Vizsgálnunk kell már most

y

változását, ha

0 ≦ x ≦ R

. Képezzük

y

differenciálhányadosát:

\begin{matrix} y' = \frac{2 (h^{2} + R^{2}) x - 4 x^{3}}{2 \sqrt[]{(h^{2} + R^{2}) x^{2} - x^{4}}} = \frac{h^{2} + R^{2} - 2 x^{2}}{\sqrt[]{h^{2} + R^{2} - x^{2}}} . \\ y' = 0, ha x = \sqrt[]{\frac{h^{2} + R^{2}}{2}} . \end{matrix}

Minthogy

x ≦ R

\frac{h^{2} + R^{2}}{2} ≦ R^{2}

és innen

h ≦ R

.
Eszerint két esetet kell megkülönböztetnünk:
a)

h ≧ R .

Ekkor

y'

állandóan pozitív marad, ha

0 ≦ x ≦ R

. Az

y

függvény állandóan növekedik

0

-tól

h R

-ig. Ha

B

leírja az egész kör kerületét,

y

növekedik

0

-tól

h R

-ig és azután csökken

h R

-től

0

-ig. Eszerint

h ≦ R

esetben

A B = 2 R

értékhez

y

legnagyobb értéke tartozik. Ha

h > R

, akkor a

2 R

alapú

A S B △

-ben az

S

csúcsnál fekvő szög

< 90^{\circ}

, ha

h = R

, akkor

A S B ∢ = 90^{\circ}

.
b)

h < R

. Ezen esetben

y

változását feltüntető táblázat:

\begin{matrix} \begin{matrix} x & 0 & \sqrt[]{\frac{h^{2} + R^{2}}{2}} & R \\ y' & + & + & 0 & - & - \\ y & \binom{0}{{min}_{}^{}} & ↗ & \binom{\frac{h^{2} + R^{2}}{2}}{{max}_{}^{}} & ↘ & \binom{h R}{{min}_{}^{}} \end{matrix} \end{matrix}

3^{0}

. A

h < R

esetekben

y = 0

, ha

x = 0

, azaz

B

A

-ban van.

y = 0

abszolút minimum. Ha azonban

B

A

-val diametrálisan szemben fekvő

B_{1}

-ben van

(x = R)

, akkor az

S A B △

területe relatív minimum. Ha

B

azon

B_{2}

ill.

B'_{2}

pontokban van, amelyekre nézve

\begin{matrix} A B_{2} = A B'_{2} = 2 \sqrt[]{\frac{h^{2} + R^{2}}{2}} = \sqrt[]{2 (h^{2} + R^{2})} = S A \sqrt[]{2}, \end{matrix}

akkor

S A B △

területe (relatív) maximum.

Minthogy

S B_{2} = S A

és

A B_{2} = A B'_{2} = S A \sqrt[]{2}

, kell, hogy az

A S B_{2}

A S B'_{2}

háromszögek

S

-nél derékszögű (egyenlőszárú) háromszögek legyenek.

Freud Géza (Berzsenyi Dániel g. VII. o. Bp. V.)

Jegyzet. Ha az

A S B △

területét

\begin{matrix} \frac{1}{2} S A \cdot S B sin A S B = \frac{1}{2} {\bar{S A}}^{2} sin A S B \end{matrix}

alakban írjuk, nyilvánvaló, hogy területe maximum, ha

A S B ∢ = 90^{\circ}

, feltéve, hogy ez lehetséges. Lehetséges pedig akkor, ha

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} = 2 {\bar{S A}}^{2} = 2 (h^{2} + R^{2}) . \end{matrix}