Kezdőlap


Feladat:	1470. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bán T. , Barna Klára , Bizám György , Csáki Frigyes , Freud Géza , Hajnal Miklós , Hoffmann Tibor , Klein J. , Margulit György , Máté I. , Présing Zsófia , Sándor Gyula , Taksony György
Füzet:	1939/január, 128 - 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Egyenes körhengerek, Egyenes körkúpok, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 1470. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A trapéz forgásából keletkező test térfogata kétszerese az $O C M F_{2}$ forgásából keletkező testének. Ha $M$ vetülete az $A A'$ nagytengelyen $H$ , az $O C M F_{2}$ forgási testje az $O C M H$ téglalap forgásából keletkező hengerből és az $M H F_{2} △$ forgási kúpjából tehető össze.
A henger térfogata $v_{1} = π \cdot \bar{M H^{2}} \cdot \bar{O H}$ .

Itt

O H = C M = x

(

0 \leq x \leq a

) és

M H

M

pont ordinátája, mely az elipszisnek

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{matrix}

egyenletéből fejezhető ki:

\begin{matrix} \bar{M H^{2}} = y^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}} (a^{2} - x^{2}) = \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2}} (a^{2} - x^{2}) . \end{matrix}

A kúp térfogata:

v_{2} = \frac{1}{3} π \bar{M H^{2}} \cdot H F

\begin{matrix} H F_{2} = O F_{2} - O H = c - x ⋛ 0, v_{2} = \frac{1}{3} π \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2}} (a^{2} - x^{2}) (c - x) . \end{matrix}

A trapéz forgásából keletkező test térfogata

\begin{matrix} v = 2 (v_{1} + v_{2}) = 2 π \bar{M H^{2}} (O H + \frac{H F_{2}}{3}) = 2 π \frac{a^{2} - c^{2}}{a^{2}} (a^{2} - x^{2}) (x + \frac{c - x}{3}) = \\ = 2 π \frac{a^{2} - c^{2}}{3 a^{2}} (a^{2} - x^{2}) (2 x + c) . \end{matrix}

x = 0

v_{0} = \frac{2 π}{3 a^{2}} (a^{2} - c^{2}) a^{2} c = \frac{2 π c}{3} (a^{2} - c^{2})

x = a

v = 0

. Már most

v

differenciálhányadosa

\begin{matrix} v' = \frac{2 π}{3 a^{2}} (a^{2} - c^{2}) [- 2 x (2 x + c) + 2 (a^{2} - x^{2})] = - \frac{4 π}{3 a^{2}} (a^{2} - c^{2}) (3 x^{2} + c x - a^{2}) \end{matrix}

v' = 0

, ha

3 x^{2} + c x - a^{2} = 0

. Ezzen egyenletnek valós, ellenkező^{$^{*}$} előjelű gyökei vannak; ezek közül csak a pozitív felel meg, t. i.

\begin{matrix} x_{1} = \frac{- c + \sqrt[]{c^{2} + 12 a^{2}}}{6} . \end{matrix}

Ezen helyen a

3 x^{2} + c x - a^{2}

függvény negatív értékekből megy át pozitívekbe, tehát

v'

pozitívból negatívba és így

v

-nek maximuma van ezen helyen

x = a

helyen

v' < 0

v

értékének változását egy harmadfokú parabolának azon íve tünteti fel, mely

x = 0

és

x = a

között van.

v

változását jellemző táblázat:

\begin{matrix} x & 0 & x_{1} & a \\ v' & + & + & 0 & - & - \\ v & v_{0} & ↗ & v & ↘ & 0 \\ max \end{matrix}

\begin{matrix} V_{max} = \frac{π (a^{2} - c^{2})}{81 a^{2}} [(36 a^{2} - c^{2}) c + (12 a^{2} + c^{2}) \sqrt[]{12 a^{2} + c^{2}}] . \end{matrix}

Baán Sándor (Bencés g. VII. o. Kőszeg)

^{$^{*}$}

3 x^{2} + c x - a^{2}

értéke

- a^{2}

, ha

x = 0

; ha pedig

x = a

, értéke

2 a^{2} + a c > 0

. Tehát 0 és

a

között van az egyenlet egyik gyöke. A másik gyöke negatív.