Kezdőlap


Feladat:	1468. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Bolgár Imre , Csáki Frigyes , Faragó Kálmán , Freud Géza , Grosz L. , Hoffmann Tibor , Klein József , Laub György , Lőke Endre , Máté I. , Mendelsohn Gy. , Rajó Sándor , Sándor Gyula , Steiner Iván , Taksony György , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/január, 125 - 126. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Diszkusszió, Feladat, Háromszögek szerkesztése, Háromszög nevezetes vonalai, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 1468. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy az $A B C △$ az adatoknak megfelel úgy, hogy az $A$ csúcsból kiinduló magasság talppontja a $B C$ oldalon $H$ , a szögfelezőé $D$ , az oldalfelezőé $M$ . Feltehetjük továbbá, hogy $A B < A C$ és ezen esetben a pontok sorrendje: $B$ , $H$ , $D$ , $M$ , $C$ . Szerkesszük meg továbbá az $A B C △$ köré írt kört; ennek az $M$ ponton átmenő átmérője ‐ ábránk szerint ‐ $E F$ és így $E F ⊥ B C$ . Az $E$ pont felezi a $\hat{B A C}$ kerületi szöghöz tartozó a $\hat{B E C}$ ívet és ezért az $A D$ szögfelező keresztülmegy az $E$ ponton. Ismeretes a $H M$ és a $D M$ távolság.

Ezek alapján a szerkesztés így végezhető: az adott

R

sugarú körben megrajzoljuk az egyik átmérőt,

E F

-et. Ezzel két párhuzamost húzunk

e_{1}

és

e_{2}

-t. Az

e_{1}

-t

H M

, az

e_{2}

-t

D M

távolságban (az

E F

ugyanazon oldalán). Az előbbi a kört az

A

A'

pontokban metszi. Az

A

pontot ‐ mint a keresett háromszög egyik csúcsát összekötjük

E

-vel;

A E

e_{2}

-t a

D

pontban metszi. A

D

ponton át

E F

-re merőlegesen állított húr lesz a háromszög

B C

oldala.
Ha

A'

-t összekötjük az

F

ponttal,

A' F

e_{2}

-t

D'

pontban metszi. Ezzel oly háromszöget kapunk, mely

A B C

-vel szimmetrikus (és egybevágó); a szimmetria tengelye az

E F

-re merőleges átmérő.
A szerkesztés elvégezhető, ha

\begin{matrix} D M < H M < R . \end{matrix}

Rajó Sándor (Ref. g. VIII. o. Debrecen.)

Jegyzet.

1^{\circ}

. Ha a

H

D

M

pontok közül kettő összeesik, akkor a harmadik is abba a pontba esik; az

A B C △

ekkor egyenlőszárú. A feladat ekkor határozatlanná válik.

2^{\circ}

. Ha megengedjük, hogy a

B C

oldalon a pontok sorrendje:

H

B

D

M

C

legyen (

A B < A C

), akkor a

B

csúcsnál tompaszög keletkezik. Ilyen háromszöget kapunk, ha az

A

csúcsot, a kör és

e_{1}

metszőpontját összekötjük az

F

ponttal;

A F

e_{2}

-t

D_{1}

pontban metszi. A

D_{1}

ponton átmenő és

E F

-re merőleges húr,

B_{1} C_{1}

oly

A B_{1} C_{1} △

oldala lesz, melyben

B_{1}

-nél tompaszög fekszik.

A D_{1}

felezi a

B_{1} A C_{1} ∢

-et;

E F

felezi a

B_{1} C_{1}

oldalt és

B_{1} C_{1}

e_{1}

-t

H_{1}

pontban metszi. Ezen

H_{1}

A

csúcsból vont magasság talppontja. Eszerint a

B_{1} A C_{1} △

és ennek szimmetrikusa,

A' B'_{1} C'_{1} △

megfelel a követelményeknek.

Szittyai Dezső (Wágner g. VI. o. Rákospalota)