Feladat: 1467. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baán Sándor ,  Balázs P. ,  Bali J. ,  Bán T. ,  Bizám György ,  Blazovich F. ,  Bolgár Imre ,  Boromissza Jenő ,  Csáki Frigyes ,  Cziczy Gy. ,  Deák András ,  Faludy J. ,  Fellegi Ödön ,  Forgács Péter ,  Freud Géza ,  Grosz L. ,  Hajnal Miklós ,  Halász Iván ,  Hoffmann Tibor ,  Horváth M. ,  Klein József ,  Láng I. ,  Lestál Lajos ,  Lőke Endre ,  Mayer G. ,  Ozoróczy Gyula ,  Petrovics J. ,  Sándor Gyula ,  Sellmann Tibor ,  Szabó Béla ,  Szittyai Dezső ,  Taksony György ,  Trunkó I. ,  v. Náray L. ,  Vizi László ,  Volena-Koczor Imre 
Füzet: 1939/január, 124 - 125. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Trigonometria, Háromszögek nevezetes tételei, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/november: 1467. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Feltételünk szerint

sinγ=cosα+cosβvagyis2sinγ2cosγ2=2cosα+β2cosα-β2...(1)
Azonban  γ2=90-α+β2,tehátcosα+β2=sinγ2.
Erre való tekintettel (1)-ből: cosγ2=cosα-β2,

és így  γ=±(α-β),
 

tehát vagy  α=β+γ=90,
 

vagy  β=α+γ=90.
 

 Szabó Béla (Hunyadi Mátyás honvéd reálisk. VIII. o. Kőszeg).
 

II. Megoldás. Feltételi egyenletünkből
sin2γ=cos2α+cos2β+2cosαcosβ...(1)sin2α+sin2β+sin2γ=(sin2α+cos2α)+(sin2β+cos2β)+2cosαcosβ==2+2cosαcosβ...(2)



Bármely háromszög szögeire nézve érvényes*
sin2α+sin2β+sin2γ=2+2cosαcosβcosγ...(3)
2) és 3) egybevetéséből
cosαcosβ(1-cosγ)=0...(4)

Ezen egyenlet csak úgy állhat meg, ha

vagy cosα=0,vagycosβ=0,vagy1-cosγ=0
 

azaz vagy  α=90vagyβ=90,vagyγ=0.
 
A harmadik esetben nines háromszög. (Ekkor cosα=-cosβ azt jelenti, hogy β és γ kiegészítő szögek, azaz a háromszöget alkotó három egyenes közül kettő párhuzamos.)
 
 Hajnal Miklós (Izr. g. VIII. o. Bp.)
 

Jegyzet. Néhány itt fel nem sorolt megoldás azt bizonyítja, hogy sinγ-cosα=cosβ, ha a háromszög derékszögű.
*L. XI. évf. 197. o. 1084. feladatot.