Kezdőlap


Feladat:	1466. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bizám György , Csáki Frigyes , Fáry I. , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Klein József , Lengyel S. , Margulit György , Máté Imre , Sándor Gyula , Taksony György , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/január, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 1466. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $M_{1} (x_{1}, y_{1})$ , $M_{2} (x_{2}, y_{2})$ az $y^{2} = 2 p x$ parabolának oly két pontja, amelyekhez tartozó érintők irányhatározói $m_{1}$ és $m_{2}$ kielégítik az

\begin{matrix} m_{1} m_{2}^{2} + m_{1}^{2} m_{2} = m_{1} m_{2} (m_{1} + m_{2}) = k ... \end{matrix}

(1)

összefüggést.
Az

M_{1}

pontra nézve

m_{1} = \frac{p}{y_{1}}

M_{2}

-re

m_{2} = \frac{p}{y_{2}}

. Helyettesítve ezeket 1)-be:

\begin{matrix} \frac{p^{3} (y_{1} + y_{2})}{y_{1}^{2} y_{2}^{2}} = k ... \end{matrix}

(2)

Az 1446. feladatban láttuk, hogy a parabola

M_{1}

és

M_{2}

pontjaiban húzott érintők oly

P (x, y)

pontban metszik egymást, amelyre nézve

\begin{matrix} 2 y = y_{1} + y_{2} és x^{2} = x_{1} x_{2} ... \end{matrix}

(3)

Eszerint 2)-ből

\begin{matrix} \frac{p^{3} (y_{1} + y_{2})}{2 p x_{1} \cdot 2 p x_{2}} = \frac{2 p^{3} y}{4 p^{2} x^{2}} = k és így x^{2} = \frac{p}{2 k} y ... \end{matrix}

(4)

azaz a

P

pont, amelyből húzható érintők irányhatározói kielégítik az 1) egyenletet a 4) parabolán fekszik; ennek tengelye az

Y

tengely, csúcsa az origo és paramétere

\frac{p}{4 k}

.
Ha

p > 0

, akkor az

y^{2} = 2 p x

parabola az

X

-tengely, és ha még

k > 0

, az

x^{2} = \frac{p}{2 k} y

parabola az

Y

-tengely pozitív oldalán fekszik.

Utóbbi parabolának vannak pontjai, amelyek az előbbin belül feküsznek. A két parabola közös pontjainak koordinátái az

\begin{matrix} y^{2} = 2 p x, x^{2} = \frac{p}{2 k} y \end{matrix}

egyenletrendszert elégítik ki. Küszöböljük ki

y

-t:

y = \frac{2 k}{p} x^{2}

kifejezést helyettesítsük a másik egyenletbe; az így keletkező

\frac{4 k^{2}}{p^{2}} x^{4} - 2 p x = 0

megoldásai:

x_{1} = 0

x_{2} = \frac{p}{\sqrt[3]{2 k^{2}}}

. (A másik két gyök komplex szám.)
Eszerint a két görbe közös pontjai az

x_{1}

és

x_{2}

abscisszákhoz tartoznak. A 4) alatti parabola azon pontjaiból, melyek

x_{1}

és

x_{2}

között feküsznek, nem lehet az adott parabolához érintőket húzni. Ezek tehát nem tartoznak a

P

pont mértani helyéhez.
A

P

pont mértani helye a 4) alatti parabola azon részei, amelyekre nézve

\begin{matrix} x < 0 ill. x > \frac{p}{\sqrt[3]{2 k^{2}}} . \end{matrix}

Máté Imre (Ciszterci Szent-István g. VIII. o. Székesfehérvár.)