Kezdőlap


Feladat:	1463. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Fonó Péter , Freud Géza , Hajnal Miklós , Hoffmann Tibor , Klein József , Lőke Endre , Matolcsy Kálmán , Petrovics J. , Sándor Gyula , Taksony György , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/január, 111 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög nevezetes vonalai, Hatványvonal, hatványpont, Feladat, Gömbi geometria, Thalesz tétel és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 1463. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C △$ $A$ csúcsából kiinduló $A A_{i}$ transzverzális derékszög alatt látszik a transzverzális, mint átmérő fölé írt gömbfelület minden pontjából (és csakis ezekből). Ezen gömb keresztülmegy az $A$ ponton és az $A$ pontból húzott magasság $A'$ talppontján, mert $A A' A_{i} ∢ = 90^{\circ}$ . A gömb középpontja az $A A'$ magasságot merőlegesen felező egyenesen fekszik. Ebből következik, hogy valamennyi ilyen gömb átmegy az $A A'$ , mint átmérő fölött, a háromszög síkjára merőleges $Σ_{1}$ síkban rajzolt körön.

Ha ezen kör egy pontja

P

, az

A A_{i}

-hez tartozó gömb középpontja

O_{i}

, és

A A'

magasság felező pontja ‐ a szóbanforgó kör középpontja ‐

F

, akkor

O_{i} F P ≅ O_{i} F A △ (≅ O_{i} F A' △)

. T. i.

O_{i} F = O_{i} F

F P - F A (= F A')

és

O F ⊥ Σ_{1}

, azaz

O_{i} F P ∢ = O_{i} F A ∢ (= O_{i} F A' ∢) = 90^{\circ}

.
Ebből következik, hogy

O_{i} P = O_{i} A (- O_{i} A')

tehát a

Σ_{1}

síkban fekvő kör minden pontja az

O_{i}

középpont körül

O_{i} A (= \frac{1}{2} A A_{i})

sugárral leírt gömb felületen fekszik.
Eszerint az

A A'

magasság, mint átmérő fölött a

Σ_{1}

síkban leírt

k_{a}

kör bármely pontjából bármely

A A_{i}

transzverzális derékszög alatt látszik.
Hasonlóan a

B B_{j}

transzverzálisok a

B B'

magasság, mint átmérő fölött, az

A B C △

síkjára merőleges

Σ_{2}

síkban leírt

k_{b}

kör, a

C C_{l}

transzverzálisok a

C C'

magasság, mint átmérő fölött, az

A B C △

síkjára merőleges

Σ_{3}

síkban leírt

k_{c}

kör pontjaiból látszanak derékszög alatt.
Ha az

A B C △

hegyesszögű, akkor a háromszög

H

magassági pontja a háromszögön belül fekszik. Kimutatjuk, hogy ebben az esetben a

k_{a}

k_{b}

k_{c}

körök az

A B C

sík fölött (vagy alatt) egy

S

pontban metszik egymást.

H

pontban az

A B C △

síkjára emelt

H Z

merőleges a

Σ_{1}

Σ_{2}

Σ_{3}

síkok közös egyenese.

H Z

egyenes a

k_{a}

k_{b}

k_{c}

kört messe rendre a

P_{a}

P_{b}

P_{c}

pontban.
Minthogy

A P_{a} A'

B P_{b} B'

C P_{c} C'

háromszögek a

P_{a}

P_{b}

P_{c}

csúcsoknál derékszögűek és ezekben

H P_{a}

H P_{b}

H P_{c}

az átfogóhoz tartozó magasságok,

\begin{matrix} {\bar{H P}}_{a}^{2} = \bar{A H} \cdot \bar{H A'}, {\bar{H P}}_{b}^{2} = \bar{B H} \cdot \bar{H B'}, {\bar{H P}}_{c}^{2} = \bar{C H} \cdot \bar{H C'} \end{matrix}

Azonban az

A B C △

síkjában az

A B

B C

C A

oldalak, mint átmérők fölött írt körök párjainak hatványvonalai a magasságok és így a magassági pont hatványa mindegyik körére nézve ugyanakkora, azaz

\begin{matrix} A H \cdot H A' = \bar{B H} \cdot \bar{H B'} = \bar{C H} \cdot \bar{H C'} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} H P_{a} = H P_{b} = H P_{c}, ill. P_{a} \equiv P_{b} \equiv P_{c} \equiv S . \end{matrix}

Ebből az

S

pontból az

A B C △

bármely transzverzálisa derékszög alatt látszik.
Ha a háromszög derékszögű, pl.

A

-nál, akkor a

k_{a}

k_{b}

k_{c}

körök az

A

pontban érintik egymást. Az

A

csúcsból a

B B_{j}

és

C C_{l}

transzverzálisok derékszög alatt látszanak, míg az

A A_{i}

transzverzálisok

0^{0}

-ú szög alatt.
Ha

A B C △

tompaszögű, pl.

A

-nál, akkor a

k_{a}

kör az

A B C △

-et belül hasítja, a

k_{b}

és

k_{c}

körök a háromszögön kívül hasítják a háromszög síkját, tehát közös pontjuk nem lehet.

Volena-Koczor Imre (Révai Miklós g. VII. o. Győr).