Kezdőlap


Feladat:	1462. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bán T. , Bizám György , Csáki Frigyes , Deák András , Faludy J. , Fonó András , Fonó Katalin , Fonó Péter , Freud Géza , Gantner Jenő , Gutmann István , Hajnal Miklós , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Kaiser K. , Kézdi Ferenc , Klein József , Kovács L. , Mendelsohn György , Mészáros J. , Nádler Miklós , Pallós Károly , Petrovics J. , Sándor Gyula , Sulner László , Sziklaváry J. , Taksony György , Trunkó I. , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/január, 109 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Függvényvizsgálat, Különleges függvények, Számsorok, Feladat, Természetes számok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 1462. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha $n > 1$ és a baloldali összegben $\frac{1}{n + 1}$ -től kezdve minden nevező helyébe a nála nagyobb $n^{2}$ -t tesszük, akkor mindegyik tört értéke kisebb lesz és így

\begin{matrix} f (n) \equiv \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{n^{2} - 1} + \frac{1}{n^{2}} > \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} . \end{matrix}

Minthogy az

\frac{1}{n}

-t követő tagok száma

n^{2} - n

\begin{matrix} f (n) > \frac{1}{n} + \frac{n^{2} - n}{n^{2}} = \frac{1}{n} + 1 - \frac{1}{n}, \\ f (n) > 1. \end{matrix}

Gantner Jenő (Szent-István g. VII. o. Bp. XIV.).

II. Megoldás.

f (2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1

, mert

\frac{1}{3} > \frac{1}{4}

\begin{matrix} f (3) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{9} > \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{9} \\ f (3) > \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{9} > \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \end{matrix}

azaz

f (3) > f (2)

Kimutatjuk általában, hogy

f (n + 1) > f (n)

.

Ugyanis

f (n) = \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{n^{2}}

\begin{matrix} f (n + 1) = (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{n^{2}}) + [\frac{1}{n^{2} + 1} + ... + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}] = \\ = f (n) - \frac{1}{n} + [\frac{1}{n^{2} + 1} + ... + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}] . \end{matrix}

A szögletes zárójelben foglalt összeget kisebbítjük, ha minden tagjában a legnagyobb nevezőt,

{(n + 1)}^{2}

-t vesszük; a tagok száma pedig

{(n - + 1)}^{2} - n^{2}

. Eszerint

\begin{matrix} \frac{1}{n^{2} + 1} + \frac{1}{n^{2} + 2} + ... + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} > \frac{{(n + 1)}^{2} - n^{2}}{{(n + 1)}^{2}} = \frac{2 n + 1}{{(n + 1)}^{2}} . \end{matrix}

Ezen kisebbítéssel azonban még mindig

\frac{1}{n}

-nél többet kapunk, ha

n > 1

. T. i.

\begin{matrix} \frac{2 n + 1}{{(n + 1)}^{2}} > \frac{1}{n}, ill. 2 n^{2} + n > n^{2} + 2 n + 1, mert n (n - 1) > 1, \end{matrix}

n > 1

.Tehát

\begin{matrix} f (n + 1) > f (n) - \frac{1}{n} + \frac{1}{n}, azaz f (n + 1) > f (n) . \end{matrix}

Kimondhatjuk tehát, hogy

f (n)

n

-nel monoton növekedő; mivel

f (2) > 1

, egyszersmind

f (n) > 1

Taksony György (Ág. ev. g. VIII. o. Bp.)

III. Megoldás. Bontsuk az

f (n)

összeg azon részét, mely

\frac{1}{n}

-t követi, részletösszegekre; ezek mindegyikét kisebbítjük, ha mindegyik helyébe a legkisebbiket (utolsót) vesszük. Ezen részletösszegek mindegyikében a tagok száma

n

, Tehát:

\begin{matrix} \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2 n - 1} + \frac{1}{2 n} > n \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n + 2} + ... + \frac{1}{3 n - 1} + \frac{1}{3 n} > n \frac{1}{3 n} = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3 n + 1} + \frac{1}{3 n + 2} + ... + \frac{1}{4 n - 1} + \frac{1}{4 n} > n \frac{1}{4 n} = \frac{1}{4} \\ \dots \dots \\ \frac{1}{(n - 1) n + 1} + \frac{1}{(n - 1) n + 2} + ... + \frac{1}{n^{2} - 1} + \frac{1}{n^{2}} > n \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} f (n) > \frac{1}{n} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} > n \frac{1}{n} = 1. \end{matrix}

Haraszthy András (Szent László g. VI. o. Bp. X.)