Kezdőlap


Feladat:	1461. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Fonó András , Fonó Péter , Freud Géza , Hajnal Miklós , Halász Iván , Huhn László , Klein József , Kovács Ervin , Kovács Ibolya , Mendelsohn György , Petrovics J. , Sándor Gyula , Vizi László , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1939/január, 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 1461. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljön $x$ egy egész számot. Ki kell mutatnunk, hogy ha $x$ két egész szám négyzetösszege, akkor $2 x$ is ilyen tulajdonságú; ha pedig $2 x$ két egész szám négyzetösszege, akkor $x$ is ilyen tulajdonságú.

1^{0}

. Legyen tehát

x = a^{2} + b^{2}

Ekkor

2 x = 2 a^{2} + 2 b^{2} = {(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}

2^{0}

. Legyen

2 x = u^{2} + v^{2}

Kell, hogy

u

és

v

egyidőben párosak vagy páratlan számok legyenek; minthogy így

\frac{u + v}{2}

és

\frac{u - v}{2}

egész számok,

\begin{matrix} x = {(\frac{u + v}{2})}^{2} + {(\frac{u - v}{2})}^{2} . \end{matrix}

Freud Géza (Berzsenyi Dániel g. VII. o. Bp. V.)

Jegyzet. A megoldások egy része nem juttatja kifejezésre a

2^{0}

. részben, hogy

\frac{u + v}{2}

és

\frac{u - v}{2}

egész számok.
Egy másik rész pedig csak az

1^{0}

. részt igazolja.