Feladat: 1460. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Freud Géza ,  Grünfeld Sándor ,  Jakab Gábor ,  Josepovits Gy. ,  Lőke Endre ,  Sándor Gyula ,  Volena-Koczor Imre 
Füzet: 1938/december, 99 - 100. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Feladat, Kúpok, Csonkakúp
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/október: 1460. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A pontban húzott e érintőn a B csúcs vetülete legyen B', a C csúcsé C', a BC oldalt felező M ponté M'.
A BC oldal forgásából keletkező vetület általában csonka kúp palástja. Ennek felszíne

F=π(BB'¯+CC'¯)BC¯=2πMM'¯BC¯.

 

Vizsgálatunknál elsősorban a háromszög BC=a oldala állandónak tekintendő. Ha BC=a, az r sugarú kör állandó hosszúságú húrja, akkor ennek M felezőpontja az adott k körrel koncentrikus kört ír le. A k' körnek az e érintőre merőleges átmérője a k' kört oly M1, M2 pontokban metszi, melyek közül az M1 az e-től legtávolabb, M2 a legközelebb van.
Ha már most a BC=a oldallal szemben hegyes szög fekszik, α<90, akkor MM'¯ és így F legnagyobb értéke akkor áll elő, ha M az M1-ben van és M'1A. Ekkor az ABCΔ egyenlőszárú és
Fmax=2πM1ABC=πa2cotgα2.

Ha a BC=a oldallal szemben tompaszög fekszik, ez 180-α; akkor MM'-nek és így F-nek is minimuma áll elő, ha MM2 és így M'2A. Az ABCΔ egyenlőszárú és most
Fmin=2πM2ABCπa2tgα2.*
A forgási felület a két határesetben hengerpalást. *
Ha pedig α=90, ekkor a=2r; az a oldal felezőpontja mindenkor a kör O középpontja és MM'OA=r,
F=2πr2r=4r2π,
azaz ekkor a felszín állandó.
Amint látjuk, a forgási felület maximumáról állandó BC=a esetén akkor lehet szó, ha ABC olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek az alappal szemben hegyes szöge van. Jelölje T ezen háromszög területét, akkor
Fmax=2πM1ABC=4πT.

A körbeírt egyenlőszárú háromszögek között azonban az egyenlőoldalú háromszögé a legnagyobb; ennek értéke 3r234. Eszerint
max(Fmax)=4π3r234=3r2π3.

Ezen forgási felszínt akkor kapjuk, ha A a körbe írt egyenlő oldalú háromszög egyik csúcsa.
 
Jakab Károly (VIII. o. magántanuló, Kalocsa.)
 

Jegyzet: Ha az a hosszúságú húr α kerületi szöghöz tartozik, akkor a= =2rsinα és
Fmax=πa2cotgα2=4πr2sin2αcotgα2=16πr2sinα2cos3α2.

Legyen α2=x és vizsgáljuk az
y=sinxcos3x
függvény változását, ha 0<x<45. Első differenciálhányadosa
y'=cos4x-3sin2xcos2x=cos2x(cos2x-3sin2x)=0,

1) ha cos2x=3sin2x azaz cotg2x=3. Ekkor x=α2=30, α=60;
2) ha cos2x=0, x=α2=90, α=180. Ezt az esetet kizártuk!
A 2) eset azt jelentené, hogy az ABCΔ az A pontba zsugorodik össze és F=0.
Az 1) esetben y' az x=π6 helyen pozitív értékekből megy át negatív értékekbe; itt y-nak maximuma van. Ezen esetben az ABCΔ egyenlőoldalú és
max(Fmax)=16πr212338=33πr2.

*Ha α<90α2<45 és tg α2<  cotg α2.

*BC mindenkor a k' kör érintője. Ha B (vagy C) az A-ba esik, akkor a forgásfelület kúp palástja lesz és ennek felszíne: πa2sinα. Könnyen igazolható, hogy ha α<90, akkor

tgα2<sinα<cotgα2.