|
Feladat: |
1460. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Freud Géza , Grünfeld Sándor , Jakab Gábor , Josepovits Gy. , Lőke Endre , Sándor Gyula , Volena-Koczor Imre |
Füzet: |
1938/december,
99 - 100. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Terület, felszín, Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Feladat, Kúpok, Csonkakúp |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1938/október: 1460. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az pontban húzott érintőn a csúcs vetülete legyen , a csúcsé , a oldalt felező ponté . A oldal forgásából keletkező vetület általában csonka kúp palástja. Ennek felszíne | |
Vizsgálatunknál elsősorban a háromszög oldala állandónak tekintendő. Ha , az sugarú kör állandó hosszúságú húrja, akkor ennek felezőpontja az adott körrel koncentrikus kört ír le. A körnek az érintőre merőleges átmérője a kört oly , pontokban metszi, melyek közül az az -től legtávolabb, a legközelebb van. Ha már most a oldallal szemben hegyes szög fekszik, , akkor és így legnagyobb értéke akkor áll elő, ha az -ben van és . Ekkor az egyenlőszárú és | |
Ha a oldallal szemben tompaszög fekszik, ez ; akkor -nek és így -nek is minimuma áll elő, ha és így . Az egyenlőszárú és most A forgási felület a két határesetben hengerpalást. Ha pedig , ekkor ; az oldal felezőpontja mindenkor a kör középpontja és , azaz ekkor a felszín állandó. Amint látjuk, a forgási felület maximumáról állandó esetén akkor lehet szó, ha olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek az alappal szemben hegyes szöge van. Jelölje ezen háromszög területét, akkor A körbeírt egyenlőszárú háromszögek között azonban az egyenlőoldalú háromszögé a legnagyobb; ennek értéke . Eszerint Ezen forgási felszínt akkor kapjuk, ha a körbe írt egyenlő oldalú háromszög egyik csúcsa.
Jakab Károly (VIII. o. magántanuló, Kalocsa.) Jegyzet: Ha az hosszúságú húr kerületi szöghöz tartozik, akkor és | |
Legyen és vizsgáljuk az függvény változását, ha . Első differenciálhányadosa | |
1) ha azaz . Ekkor , ; 2) ha , , . Ezt az esetet kizártuk! A 2) eset azt jelentené, hogy az az pontba zsugorodik össze és . Az 1) esetben az helyen pozitív értékekből megy át negatív értékekbe; itt -nak maximuma van. Ezen esetben az egyenlőoldalú és | | Ha <, < és tg < cotg . mindenkor a kör érintője. Ha (vagy ) az -ba esik, akkor a forgásfelület kúp palástja lesz és ennek felszíne: . Könnyen igazolható, hogy ha , akkor |
|