Kezdőlap


Feladat:	1459. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Bolgár Imre , Csáki Frigyes , Fonó András , Fonó Péter , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Josepovits Gy. , Petrovics J. , Sándor Gyula , Taksony György
Füzet:	1938/december, 98 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hatványvonal, hatványpont, Feladat, Körök, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/október: 1459. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Az ( $O$ ) kör és a változó $γ$ kör hatványvonala $M M'$ az $O A$ egyenest a szilárd $P$ pontban metszi.
A $γ$ körre vonatkozólag $\bar{P M} \cdot \bar{P M'} = \bar{P O} \cdot \bar{P A}$ . Az ( $O$ ) körre vonatkozólag $\bar{P M} \cdot \bar{P M'} = \bar{P C} \cdot \bar{P D}$ ,
tehát $\bar{P O} \cdot \bar{P A} = \bar{P C} \cdot \bar{P D} .$ ^{$^{*}$}

Legyen

P O = x

A O = a

és a kör sugara

r

. Ekkor

x (x - a) = (x - r) (x + r)

és innen

x = \frac{r^{2}}{a}

.
Eszerint

P

O A

egyenes meghatározott pontja, amelyen az (

O

) kör és a változó

γ

kör hatványvonala mindig keresztülmegy.

2^{\circ}

. Minthogy

O M = O M'

, az

O

pont felezi a

γ

kör

\hat{M O M'}

ívét; ezen ív az

M A M' ∢

kiegészítő szögét, tehát az

M A M' Δ

azon külső szögét méri, mely az

A

csúcsnál van. Eszerint

A O

M A M' Δ

A

csúcsához tartozó külső szöget felezi; a belső szögfelező (

A N

) erre merőleges.

3^{\circ}

. Ugyanakkora húrhoz nagyobb sugarú körben kisebb középponti, ill. kisebb kerületi szög is tartozik.

O M A ∢ = 0

, ha a

γ

kör sugara végtelen, azaz ha a

γ

kör az

O A

egyenesbe megy át.
Ha a

γ

kör sugara kisebbedik,

O M A ∢

növekedik. A

γ

kör határa azon kör, mely az (

O

) kört érinti (az

N

pontban), amidőn

M \equiv M' \equiv N

. Az

O M A ∢

maximuma tehát az

O N A ∢

. Minthogy

P N

most érintő,

P N ⊥ O N

. Most

M A M' ∢ \equiv N A N ∢

, tehát

A N ⊥ O A

, azaz

A N

a változó

M A M' ∢

felezője és

O N A = O P N ∢

Fonó Péter (Verbőczy István g. VIII. o. Bp. I.)

^{$^{*}$}

C

és

D

azon pontok, amelyekben

O A

O

kört metszi. Ezen pontok jelzése ábránkban hiányzik.