Kezdőlap


Feladat:	1457. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Freud Géza , Hajnal Miklós , Hoffmann Tibor , Klein J. , Máté I. , Petrovics J. , Sándor Gyula , Szabó Béla , Taksony György , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1938/december, 96 - 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körre vonatkozó hatványa, Síkgeometriai szerkesztések, Parabola, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/október: 1457. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A parabola gyújtópontja legyen $F$ , vezérvonala a $d$ egyenesen. Az $e$ egyenesen oly pontot kell keresnünk, mely $F$ -től és $d$ -től egyenlő távolságban van. Legyen egy ilyen pont $M$ , ennek vetülete $d$ -n az $N$ pont. Kell, hogy $M N = M F$ legyen, azaz $M$ oly kör középpontja, mely $d$ -t érinti ( $N$ -ben) és keresztülmegy az $F$ ponton. Azonban ezen kör keresztül megy azon $F'$ ponton is, mely $F$ szimmetrikusa az $e$ -re nézve. Eszerint feladatunkat oly kör szerkesztésére vezettük vissza, mely két ponton megy keresztül ( $F$ és $F'$ ) és adott egyenest ( $d$ ) érint.

Ilyen kör szerkesztése a következő módon történik: messe az

F F'

egyenes a

d

-t

L

-ben. Ekkor az

L

pont hatványa a keresett körre nézve:

\begin{matrix} {\bar{L N}}^{2} = \bar{L F} \cdot \bar{L F'} . \end{matrix}

Meghatározzuk tehát az

L F

és

L F'

távolságok mértani középarányosát, és ezt

L

-ből felmérjük a

d

-re mindkét irányban:

L N

és

L N'

. Az

N

és

N'

pontokban

d

-re állított merőlegesek az

e

-t a keresett

M

és

M'

pontokban metszik.
Hogy ezen szerkesztés el legyen végezhető, szükséges és elegendő, hogy

F

és

F'

d

ugyanazon oldalán feküdjenek.
Ha

F'

d

-re esik, akkor

e

a parabolát érinti. Ebben az esetben az

L

és

N

pont

F'

-be esik: az

F'

pontban

d

-re emelt merőleges

e

-t az érintési pontban metszi. (A két metszéspont,

M

és

M'

, összeesik.)

Ha pedig

e ⊥ d

és

e

d

-t

K

-ban metszi, akkor

M

azon kör középpontja, mely az

F

F'

és

K

pontokon megy keresztül. Ebben az esetben

e

párhuzamos a parabola tengelyével, a második metszéspont az

e

végtelenben fekvő pontja.

Csuri Vilmos (Kossuth Lajos g. VIII. o. Pestszenterzsébet.)