Feladat: 1456. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán T. ,  Bizám György ,  Boromissza J. ,  Csáki Frigyes ,  Csuri Vilmos ,  Deák András ,  Fonó András ,  Freud Géza ,  Grünfeld Sándor ,  Hajnal Miklós ,  Hoffmann Tibor ,  Horváth M. ,  Josepovits Gy. ,  Kozinek J. ,  Lang I. ,  Lestál Lajos ,  Luncz Gy. ,  Nádler Miklós ,  Ozoróczy Gyula ,  Sándor Gyula ,  Sellmann Tibor ,  Taksony György ,  Vásárhelyi Nagy Sándor ,  Volena-Koczor Imre 
Füzet: 1938/december, 95 - 96. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat, Trigonometriai azonosságok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/október: 1456. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltételi egyenletünkből következik:

cotgα:cotgβ:cotgγ=1p:1q:1r,
ill.
(cotgα+cotgβ):(cotgβ+cotgγ):(cotgγ+cotgα)==(1p+1q):(1q+1r):(1r+1p).


Azonban
cotgα+cotgβ=sin(α+β)sinαsinβ=sinγsinαsinβ=sin2γsinαsinβsinγ.
Hasonlóan:
cotgβ+cotgγ=sin2αsinαsinβsinγ,cotgγ+cotgα=sin2βsinαsinβsinγ.

Eszerint:
sin2γ:sin2α:sin2β=(1p+1q):(1q+1r):(1r+1p),
ill.
a2:b2:c2=(1q+1r):(1r+1p):(1p+1q).

Hoffmann Tibor (Szent István g. VII. o. Bp.)
 

Jegyzet: Ha t a háromszög területe,
a2=2tsinαsinβsinγ=2tsin(β+γ)sinβsinγ=2t(cotgβ+cotgγ).
b2 és c2 analog kifejezéseit felhasználva, a kívánt összefüggéshez jutunk.