Kezdőlap


Feladat:	1454. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Ballay L. , Bán T. , Bizám György , Bornemissza J. , Csáki Frigyes , Deák András , Fonó András , Freud Géza , Grünbaum I. , Grünfeld Sándor , Hajnal Miklós , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Horváth M. , Horváth Sándor , Josepovits Gyula , Klein J. , Korzinek J. , Lang I. , Laub György , Lestál Lajos , Lőke Endre , Luncz Gy. , Margulit György , Orlay J. , Ozoróczy György , Sándor Gyula , Taksony György , Vásárhelyi Nagy Sándor , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1938/december, 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesek egyenlete, Feladat, Algebrai átalakítások, Síkgeometriai bizonyítások, Paraméteres egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/október: 1454. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $X$ -tengelyről lemetszett szelet $a$ , az $Y$ -tengelyről $b$ , az egyenes egyenlete

\begin{matrix} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 ... \end{matrix}

(1)

alakban írható. Feltevésünk szerint azonban

\begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c} ... \end{matrix}

(2)

ahol

\frac{1}{c}

állandó. Szorozzuk az (1) tagjait

\frac{1}{c}

-vel és azután vonjuk ki az (1) tagjaiból a (2) megfelelő tagjait; keletkezik:

\begin{matrix} \frac{1}{a} (\frac{x}{c} - 1) + \frac{1}{b} (\frac{y}{c} - 1) = 0 \end{matrix}

Ezen egyenlet az

a

, ill.

b

bármely értékénél, melyek (2)-t kiegészítik, azonossággá válik, ha

\begin{matrix} \frac{x}{c} - 1 = 0, \frac{y}{c} - 1 = 0, vagyis x = y = c . \end{matrix}

Az (1) egyenes tehát a

P (c, c)

szilárd ponton megy keresztül, ha

a

és

b

a (2)-t kielégítik.

Halász Iván (Berzsenyi Dániel g. VIII. o. Bp. V.)

II. Megoldás. Két tetszőleges egyenes elégítse ki a feltételt, azaz:

\begin{matrix} \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{b_{1}} = \frac{1}{c} ... & (3) \\ \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{b_{2}} = \frac{1}{c} ... & (4) \end{matrix}

Egyenletük:

\begin{matrix} \frac{x}{a_{1}} + \frac{y}{b_{1}} = 1 ... & (5) \\ \frac{x}{a_{2}} + \frac{y}{b_{2}} = 1 ... & (6) \end{matrix}

A két egyenes metszőpontjára nézve érvényes

\begin{matrix} x (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}}) + y (\frac{1}{b_{1}} - \frac{1}{b_{2}}) = 0 ... \end{matrix}

(7)

Azonban (3)-ból és (4)-ből

\begin{matrix} \frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}} = - (\frac{1}{b_{1}} - \frac{1}{b_{2}}) . \end{matrix}

Eszerint (7)-ben:

\begin{matrix} (x - y) (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}}) = 0 \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} a_{1} \neq a_{2}, x - y = 0, \end{matrix}

tehát a két egyenes metszéspontjának koordinátái egyenlők. Tekintettel erre,

\begin{matrix} x (\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{b_{1}}) = \frac{x}{c} = 1, azaz x = y = c . \end{matrix}

Laub György (Izr. g. VII. o. Bp.)