Kezdőlap


Feladat:	1452. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1939/május, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Feladat, Algebrai átalakítások, Függvényvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/október: 1452. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Legyen

\begin{matrix} | a - x | = m^{2}, | b - x | = p^{2}, | c - x | = r^{2}, \end{matrix}

ahol

m

p

r

pozitív számok.

α

) Ha

x < a < b < c

, akkora

a - x, b - x, c - x

egyidejűleg pozitív számok, tehát

\begin{matrix} a - x = m^{2}, b - x = p^{2}, c - x = r^{2} és m < p < r . \end{matrix}

Továbbá

a - b = m^{2} - p^{2}, b - c = p^{2} - r^{2}, c - a = r^{2} - m^{2}

.
A megadott kifejezést jelölje

y

\begin{matrix} y = \frac{m^{2} - p^{2}}{r} + \frac{p^{2} - r^{2}}{m} + \frac{r^{2} - m^{2}}{p} = \\ = \frac{1}{m p r} [m p (m^{2} - p^{2}) + p r (p^{2} - r^{2}) + r m (r^{2} - m^{2})] . \end{matrix}

y

előjele megegyezik a szögletes zárjelbe foglalt számláló előjelével. Ez eltűnik, ha

m = p

, ha

p = r

, ha

m = r

; ezért osztható az

(m - p), (p - r), (m - r)

tényezőkkel, úgy, hogy

\begin{matrix} y = \frac{1}{m p r} (m - p) (p - r) (m - r) (m + p + r) . \end{matrix}

Minthogy a jobboldalon álló három első tényező negatív,

y

is az.

β

) Ha

a < b < c < x

, akkor

\begin{matrix} a - x = - m^{2}, b - x = - p^{2}, c - x = - r^{2} és r < p < m . \end{matrix}

Most

\begin{matrix} y = - \frac{m^{2} - p^{2}}{r} - \frac{p^{2} - r^{2}}{m} - \frac{r^{2} - m^{2}}{p} . \end{matrix}

Az előbbihez hasonló tényezőkre bontással

\begin{matrix} y = - \frac{1}{m p r} (m - p) (p - r) (m - r) (m + p + r) \end{matrix}

Minthogy a jobboldal minden tényezője pozitív,

y

most is negatív.

2^{0}

α

) Ha

x > a > b > c

, akkor

\begin{matrix} a - x = - m^{2}, b - x = - p^{2}, c - x = - r^{2}, ahol m < p < r . \end{matrix}

Keletkezik:

\begin{matrix} y = - \frac{m^{2} - p^{2}}{r} - \frac{p^{2} - r^{2}}{m} - \frac{r^{2} - m^{2}}{p} = \\ = - \frac{1}{m p r} (m - p) (p - r) (m - r) (m + p + r) . \end{matrix}

A jobboldali első három tényező mindegyike negatív, tehát

y > 0

β

)

a > b > c > x

mellett

\begin{matrix} a - x = m^{2}, b - x = p^{2}, c - x = r^{2}, ahol r < p < m . \end{matrix}

Most

\begin{matrix} y = \frac{1}{m p r} (m - p) (p - r) (m - r) (m + p + r) . \end{matrix}

A jobboldal minden tényezője pozitív, tehát

y > 0

β

) Ezen feladatra nem érkezett elfogadható megoldás.