|
Feladat: |
1450. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bizám György , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Deák András , Engel J , Fonó András , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Jakab Károly , Klein József , Sándor Gyula , Taksony György , Volena-Koczor Imre |
Füzet: |
1938/november,
74 - 75. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térgeometriai bizonyítások, Gömbi geometria, Feladat, Szabályos sokszögek geometriája |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1938/szeptember: 1450. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. A gömb sugara legyen , valamely gömbi körének sugara . Az sugarú körbe oldalú szabályos sokszöget írunk, a sokszög csúcsaiban a gömbhöz érintősíkokat fektetünk. A gömb középpontját az érintési pontokkal (a sokszög csúcsaival) összekötő sugarak merőlegesek az érintő síkokra; két szomszédos sík érintési pontjaihoz húzott gömbi sugarak szöge, a két sík hajlásszögének kiegészítő szöge, azaz Az sugarú gömbi körben két szomszédos sík érintési pontjait összekötő húrhoz, az oldalú szabályos sokszög oldalához tartozó középponti szög: .
Nagyobb sugarú körben ugyanakkora húrhoz kisebb középponti szög tartozik, mint a kisebb sugarú körben, tehát Ha , akkor és . Eszerint valóban Taksony György (Ág. ev. g. VIII. o. Bp.) II. Megoldás. Azon gömbi sugarak, amelyek a gömb középpontját az érintősíkok érintési pontjaival kötik össze, egy -oldalú testszöglet élei; ezen testszöglet élszögei egyenlők. Jelölje a testszöglet élszögét és két szomszédos érintősík hajlásszögét. Az előbbi megoldásban láttuk, hogy Ismeretes, hogy konvex testszögletben az élszögek összege nem lehet nagyobb -nél. Tehát | |
Az egyenlőség akkor áll elő, ha a testszöglet élszögei egy síkba esnek, tehát egy legnagyobb kör síkjába. Ezen esetben az érintősíkok a legnagyobb kör síkjára merőlegesek.
Volena-Koczor Imre (Révay g. VIII. o. Győr). Ezen estben az érintő síkok egy legnagyobb kör síkjára merőlegesek, hasábos teret alkotnak! A testszöglet csúcsa a végtelenbe kerül. |
|