Kezdőlap


Feladat:	1450. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Deák András , Engel J , Fonó András , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Jakab Károly , Klein József , Sándor Gyula , Taksony György , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1938/november, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Gömbi geometria, Feladat, Szabályos sokszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/szeptember: 1450. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A gömb sugara legyen $R$ , valamely gömbi körének sugara $r$ . Az $r$ sugarú körbe $n$ oldalú szabályos sokszöget írunk, a sokszög csúcsaiban a gömbhöz érintősíkokat fektetünk. A gömb középpontját az érintési pontokkal (a sokszög csúcsaival) összekötő sugarak merőlegesek az érintő síkokra; két szomszédos sík érintési pontjaihoz húzott gömbi sugarak szöge, $ω$ a két sík $φ$ hajlásszögének kiegészítő szöge, azaz

\begin{matrix} φ = π - ω . \end{matrix}

r

sugarú gömbi körben két szomszédos sík érintési pontjait összekötő húrhoz, az

n

oldalú szabályos sokszög oldalához tartozó középponti szög:

α = \frac{2 π}{n}

Nagyobb sugarú körben ugyanakkora húrhoz kisebb középponti szög tartozik, mint a kisebb sugarú körben, tehát

\begin{matrix} ω < \frac{2 π}{n} és így φ > π - \frac{2 π}{n} . \end{matrix}

r = R

, akkor

ω = \frac{2 π}{n}

és

φ = π - \frac{2 π}{n}

. ^{$^{*}$}
Eszerint valóban

\begin{matrix} φ \geq π (1 - \frac{2}{n}) . \end{matrix}

Taksony György (Ág. ev. g. VIII. o. Bp.)

II. Megoldás. Azon gömbi sugarak, amelyek a gömb középpontját az érintősíkok érintési pontjaival kötik össze, egy

n

-oldalú testszöglet élei; ezen testszöglet élszögei egyenlők. Jelölje

ω

a testszöglet élszögét és

φ

két szomszédos érintősík hajlásszögét. Az előbbi megoldásban láttuk, hogy

\begin{matrix} ω = π - φ . \end{matrix}

Ismeretes, hogy konvex testszögletben az élszögek összege nem lehet nagyobb

2 π

-nél. Tehát

\begin{matrix} n ω = n (π - φ) < 2 π és innen φ \geq π (1 - \frac{2}{n}) . \end{matrix}

Az egyenlőség akkor áll elő, ha a testszöglet élszögei egy síkba esnek, tehát egy legnagyobb kör síkjába. Ezen esetben az érintősíkok a legnagyobb kör síkjára merőlegesek.

Volena-Koczor Imre (Révay g. VIII. o. Győr).

^{$^{*}$}Ezen estben az érintő síkok egy legnagyobb kör síkjára merőlegesek, hasábos teret alkotnak! A testszöglet csúcsa a végtelenbe kerül.