Kezdőlap


Feladat:	1449. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Bolgár Imre , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Danciger E. , Engel J. , Fekete A. , Fonó András , Freud Géza , Gráf S. , Hajnal Miklós , Hoffmann Tibor , Horváth M. , Huhn László , Jakab Károly , Klein József , Korzsinek J. , Kovács Ervin , Kovács I. , Lang I. , Laub György , Lipsitz Imre , Lőke Endre , Luncz Gy. , Matolcsy Kálmán , Mendelsohn György , Petrovics J. , Sándor Gyula , Sebők László , Sellmann Tibor , Szabó Béla , Szittyai Dezső , Szlovák István , Taksony György , Vitéz Náray László , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1938/november, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Oldalfelező merőleges, Súlypont, Magasságpont, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/szeptember: 1449. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $(r, O)$ körön adva van a háromszög $A$ csúcsa és a körön belül az $S$ súlypont; az $A S$ súlyvonal a $B C$ oldalt felezőpontjában, $M$ -ben metszi úgy, hogy $S M = \frac{1}{2} A S$ és $B C ⊥ O M$ .

A szerkesztés eszerint a következő: az

A S

távolságot meghosszabbítjuk

S

-en túl,

S M = \frac{1}{2} A S

távolsággal. Az

M

pontot összekötjük a kör

O

középpontjával; az

O M

-re merőleges húr lesz a háromszög

B C

oldala.
Hogy a szerkesztés lehetséges legyen, szükséges és elegendő, hogy az

M

pont az

O

körön belül essék. Minthogy

A S = \frac{2}{3} A M

, ez

S

pontnak oly

O_{1}

körön kell belül feküdnie, mely az

O

körrel

A

pontra nézve hasonló helyzetű, az

O

kört az

A

pontban belülről érinti és sugara

\frac{2}{3} r

. ^{$^{*}$} Az

O_{1}

, kör középpontja,

O_{1}

, az

A O

-n fekszik úgy, hogy

A O_{1} = \frac{2}{3} A O

.
Ha

S

O_{1}

körön fekszik, akkor

M

O

kör kerületére esik,

B C

M

pontban érinti az

O

kört. A háromszög az

A M

vonaldarabbá zsugorodik. Ha

S

A

-ba kerül, akkor

M

is ide esik és

B C

O

kört

A

ban érinti; az

A B C △

ekkor az

A

pontba zsugorodik össze.

Vitéz Náray László (Szent-László g. VIII. o. Bp. X.).

^{$^{*}$}Ha az

M

pont az

O

körön fut végig, akkor az

S

pont, melyre nézve

A S = \frac{2}{3} A M

, leírja az

O_{1} k ö r t .