Kezdőlap


Feladat:	1446. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Freud Géza , Hoffmann Tibor , Klein József , Sándor Gyula , Taksony György , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1938/november, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Koordináta-geometria, Parabola, mint mértani hely, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/szeptember: 1446. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . A parabola egyenlete legyen $y^{2} = 2 p x$ . (Derékszögű koordinátarendszerünk abscissatengelye a parabola főtengelye, kezdőpontja a parabola csúcsa.)
A parabola valamely $T$ pontjának koordinátái legyenek ‐ átmenetileg ‐ $(ξ, η)$ . Ezen pontban az érintő irányhatározója: $\frac{p}{η}$ és az érintő egyenlete

\begin{matrix} y - η = \frac{p}{η} (x - ξ), ill. η y - p x + p ξ - η^{2} = 0 ... \end{matrix}

(1)

Minthogy

η^{2} = 2 p ξ

ξ = \frac{η^{2}}{2 p}

, az (1) egyenletből keletkezik:

\begin{matrix} 2 η y - 2 p x - η^{2} = 0 ... \end{matrix}

(2)

Ha ezen érintő keresztülmegy a

P (a, b)

ponton, akkor

\begin{matrix} 2 η b - 2 p a - η^{2} = 0 ... \end{matrix}

(3)

Megfordítva, az

(a, b)

pontból a parabolához húzott érintők érintőpontjainak ordinátái kielégítik a (3) egyenletet; ha már most

η

helyett

y

-t írunk, akkor a

T_{1}

, és

T_{2}

pontok ordinátái,

y_{1}

és

y_{2}

, az

\begin{matrix} y^{2} - 2 b y + 2 p a = 0 ... \end{matrix}

(4)

egyenlet gyökei és így

\begin{matrix} y_{1} + y_{2} = 2 b, azaz b = \frac{y_{1} + y_{2}}{2} . \end{matrix}

Ez annyit jelent, hogy a

P

pont távolsága a parabola tengelyétől a

T_{1}

és

T_{2}

pontok ugyanezen tengelytől való távolságainak számtani középarányosa.

2^{0}

. A

P

pontnak a csúcsérintőtől, azaz az

Y

-tengelytől való távolsága

a

, a

T_{1}

és

T_{2}

pontoknak távolsága a csúcsérintőtől

x_{1}

és

x_{2}

.
(4)-ből

2 b y = y^{2} + 2 p a

vagy

4 b^{2} y^{2} = y^{4} + 4 p a y^{2} + 4 p^{2} a^{2}

.
A parabola

T_{1}

és

T_{2}

pontjaira nézve

y^{2} = 2 p x

, tehát

\begin{matrix} 8 b^{2} p x = 4 p^{2} x^{2} + 8 p^{2} a x + 4 p^{2} a^{2} \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} p x^{2} + 2 (a p - b^{2}) x + p a^{2} = 0 ... \end{matrix}

(5)

Az (5) egyenlet gyökei, a

T_{1}

és

T_{2}

pontok abscissái. Nyilván

\begin{matrix} x_{1} x_{2} = \frac{p a^{2}}{p} ill. a = \sqrt[]{x_{1} x_{2}} ... \end{matrix}

Q.e.d.

3^{0}

. A

P

pont távolsága az

F

gyújtóponttól

(\frac{p}{2},0)

legyen

d

. Nyilván

\begin{matrix} \bar{P F^{2}} = d^{2} = {(a - \frac{p}{2})}^{2} + b^{2} . \end{matrix}

(6)

A parabola

T

pontjának távolsága a gyújtóponttól ugyanakkora, mint a directrixtől való távolsága, t. i.

x + \frac{p}{2}

.
Már most a

T_{1}

és

T_{2}

pontokra nézve:

\begin{matrix} (x_{1} + \frac{p}{2}) (x_{2} + \frac{p}{2}) = x_{1} x_{2} + \frac{p}{2} (x_{1} + x_{2}) + \frac{p^{2}}{4} ... \end{matrix}

(7)

(5)-ből

x_{1} x_{2} = a^{2}, x_{1} + x_{2} = \frac{2 (b^{2} - a p)}{p}

\begin{matrix} (x_{1} + \frac{p}{2}) (x_{2} + \frac{p}{2}) = a^{2} + \frac{2 (b^{2} - a p)}{p} \cdot \frac{p}{2} + \frac{p^{2}}{4} = a^{2} - a p + \frac{p^{2}}{4} + b^{2} = \\ = {(a - \frac{p}{2})}^{2} + b^{2} ... & (8) \end{matrix}

Valóban:

\begin{matrix} \bar{P F^{2}} = d^{2} = (x_{1} + \frac{p}{2}) (x_{2} + \frac{p}{2}) = \bar{T_{1} F} \cdot \bar{T_{2} F} . \end{matrix}

Klein József (Izr. g. VIII. o. Debrecen).

Jegyzet. Az

1^{0}

. alatti tétel azonos a következővel: a parabola azon átmérője, amely a

P

ponton megy keresztül, felezi a

T_{1} T_{2}

húrt, ha

T_{1}

és

T_{2}

P

-ből húzható érintők érintési pontjai.

T_{1} T_{2}

egyenes a

P

pontnak a parabolára vonatkozó polárisa. (Minthogy a parabola bármely átmérője párhuzamos a parabola tengelyével, az átmérőn fekvő bármely pont ordinátája egyenlő a

T_{1} T_{2}

húrt felező pont ordinátájával; ez azonban a

T_{1}

és

T_{2}

ordinátáinak számtani közepe.)