Kezdőlap


Feladat:	1445. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Fonó András , Freud Géza , Hajnal Miklós , Hoffmann Tibor , Jakab Károly , Klein József , Matolcsy Kálmán , Petrovics J. , Sándor Gyula , Szlovák István , Taksony György , Vitéz Náray László , Volena-Koczor Imre
Füzet:	1938/november, 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Egyenesek egyenlete, Kör egyenlete, Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/szeptember: 1445. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ , $B$ , $C$ pontok koordinátái valamely derékszögű koordinátarendszerben legyenek rendre $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ , $(x_{3}, y_{3})$ . A változó $M$ pont koordinátái $(x, y)$ . Feltételi egyenletünk ezekkel:

\begin{matrix} l [{(x - x_{1})}^{2} + {(y - y_{1})}^{2}] + m [{(x - x_{2})}^{2} + {(y - y_{2})}^{2}] + n [{(x - x_{3})}^{2} + {(y - y_{3})}^{2}] = 0 ... \end{matrix}

(1)

A kijelölt műveletek végrehajtása után:

\begin{matrix} (l + m + n) (x^{2} + y^{2}) - 2 (l x_{1} + m x_{2} + n x_{3}) x - 2 (l y_{1} + m y_{2} + n y_{3}) y + \\ + l (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) + m (x_{2}^{2} + y_{2}^{2}) + n (x_{3}^{2} + y_{3}^{2}) = 0 ... & (2) \end{matrix}

l + m + n = 0

, akkor a négyzetes tagok eltűnnek és a változó

(x, y)

koordináták között elsőfokú összefüggés áll elő, tehát az

M

pont egyenest ír le.
Ha koordinátarendszerünk kezdőpontját az

A B C △

köré írt kör középpontjába helyezzük, és ezen kör sugara

R

, akkor

\begin{matrix} x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = x_{3}^{2} + y_{3}^{2} = R^{2} . \end{matrix}

A (2) egyenlet baloldalán álló tiszta tag

\begin{matrix} (l + m + n) R^{2} \end{matrix}

l + m + n = 0

miatt eltűnik. Az

M

pont az

\begin{matrix} (l x_{1} + m x_{2} + n x_{3}) x + (l y_{1} + m y_{2} + n y_{3}) y = 0 \end{matrix}

egyenesen fekszik. Ezen egyenes keresztülmegy az origón, azaz az

A B C △

köré írt kör középpontján.