Kezdőlap


Feladat:	1443. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bolgár Imre , Boromissza Jenő , Csáki Frigyes , Csuri Vilmos , Deák András , Faludy J. , Fonó András , Fonó Katalin , Fonó Péter , Freud Géza , Gellér L. , Gráf S. , Grünfeld Sándor , Hajnal Miklós , Halász Iván , Harkay R. , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Jakab Károly , Jesch A. , Kaiser K. , Klein József , Korzinek J. , Kovács Ervin , Kovács L. , Laub György , Lestál Lajos , Lipsitz Imre , Lóránd László , Luncz Gy. , Margulit György , Mendelsohn György , Mészáros György , Orlay J. , Petrovics J. , Pfeifer Béla , Puhr L. , Sándor Gyula , Sebők László , Stein I. , Stern I. , Sulner László , Szlovák István , Takács Á. , Trunkó I. , Vásárhelyi Nagy Sándor , Vitéz Náray László , Volena-Koczor Imre , Zsarnay K.
Füzet:	1938/november, 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Esetvizsgálat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/szeptember: 1443. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Négyzetre emelve mindkét oldalon, keletkezik:

\begin{matrix} x + 2 + x - 1 \pm 2 \sqrt[]{(x + 2) (x - 1)} = 4 x - 7. \end{matrix}

Összevonás és egyszerűsítés után:

\begin{matrix} \pm \sqrt[]{(x + 2) (x - 1)} = x - 4 ... \end{matrix}

(2)

Már most

x ≷ 4

aszerint, amint a baloldalon megegyező vagy ellenkező előjellel vesszük a négyzetgyököket!
(2) mindkét oldalát négyzetre emeljük:

\begin{matrix} x^{2} + x - 2 = x^{2} - 8 x + 16, ill. 0 \cdot x^{2} + 9 x - 18 = 0 ... \end{matrix}

(3)

A (3) egyik gyöke

x_{1} = 2

; a másik gyöke végtelenné vált.

x_{1} = 2 < 4

, tehát a baloldalon a négyzetgyökök ellenkező előjellel veendők. Minthogy az első tag abszolut értéke nagyobb a másodikénál, a jobboldal az első tag előjelét veszi fel és így

x = 2

\begin{matrix} \sqrt[]{x + 2} - \sqrt[]{x - 1} = \sqrt[]{4 x - 7} vagy - \sqrt[]{x + 2} + \sqrt[]{x - 1} = - \sqrt[]{4 x - 7} \end{matrix}

egyenletnek a gyöke.
Valós függvényértékeket tételezve fel, csak

x = + \infty

lehetséges. Minthogy most

x > 4

x = + \infty

kielégíti a

\begin{matrix} \sqrt[]{x + 2} - \sqrt[]{x - 1} = \sqrt[]{4 x - 7} vagy - \sqrt[]{x + 2} + \sqrt[]{x - 1} = - \sqrt[]{4 x - 7} \end{matrix}

egyenletet.
Freud Géza (Berzsenyi Dániel g. VII. o. Bp. V.).

Jegyzet. Az egyenletben szereplő négyzetgyökök mindegyike valós, ha az

\begin{matrix} x ≧ - 2, x ≧ 1, x ≧ \frac{7}{4} \end{matrix}

követelményeket egyidejűleg elégítjük ki. Kell tehát, hogy

x ≧ \frac{7}{4}

legyen, más szóval az egyenlet gyöke csak az

x ≧ \frac{7}{4}

számok tartományában lehet.