Kezdőlap


Feladat:	1442. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Csáki Frigyes , Freud Géza , Jakab Károly , Matolcsy Kálmán , Petrovics J. , Sándor Gyula , Taksony György [0-0]
Füzet:	1938/november, 65 - 66. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Permutációk, Kombinációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/szeptember: 1442. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első négyescsoporthoz $2$ férfi és $2$ nő külön-külön $2 n$ egyénből választható $(\binom{2 n}{2})$ -féleképpen; a csoport $4$ tagja $(\binom{2 n}{2}) (\binom{2 n}{2}) = {(\binom{2 n}{n})}^{2}$ -féleképpen kapcsolható össze. Azonban egy $4$ -es csoporton belül kétféleképpen állhatnak fel. (T. i. $a_{2} b_{2}$ és $a_{1} b_{1}$ ill. $a_{1} b_{2}$ és $a_{2} b_{1}$ összeállításban). Eszerint a vegyespárok száma: $2 {(\binom{2 n}{2})}^{2}$ .
A következő négyescsoportot $2 n - 2$ férfiből és $2 n - 2$ nőből választhatjuk ki; a lehetőségek száma: $2 {(\binom{2 n - 2}{2})}^{2}$ , s. í. t.
Eszerint az $n$ vegyespáros csoportok összeállításának száma:

\begin{matrix} 2^{n} {[(\binom{2 n}{2}) (\binom{2 n - 2}{2}) (\binom{2 n - 4}{2}) ... (\binom{4}{2}) (\binom{2}{2})]}^{2} = \\ = \frac{2^{n}}{2^{2 n}} {[2 n (2 n - 1) (2 n - 2) (2 n - 3) (2 n - 4) (2 n - 5) ... 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1]}^{2} = \frac{{(2 n!)}^{2}}{2^{n}} . \end{matrix}

Ezen számban azonban bizonyos

n

vegyespáros csoport minden lehetséges sorrendben is szerepel, azaz a

n!

-szor. Sorrendre való tekintet nélkül az összeállítások száma

\begin{matrix} \frac{{(2 n!)}^{2}}{n! 2^{n}} . \end{matrix}

Sándor Gyula (Kölcsey Ferenc g. VIII. o. Bp. VI.).